Chủ đề này có 1 trả lời

[mikotochan]

Tìm a, b $\epsilon$ N* thỏa mãn: $a^{2}+(a+1)^{2}=b^{4}+(b+1)^{4}$

[Zz Isaac Newton Zz]

Ta có: $b^{4}+(b+1)^{4}=a^{2}+(a+1)^{2}\Leftrightarrow b^{4}+b^{4}+4b^{3}+6b^{2}+4b+1=a^{2}+a^{2}+2a+1\Leftrightarrow b^{4}+2b^{3}+3b^{2}+2b+1=a^{2}+a+1\Leftrightarrow (b^{4}+2b^{3}+b^{2})+2(b^{2}+b)+1=a^{2}+a+1\Leftrightarrow (b^{2}+b)^{2}+2(b^{2}+b)+1=a^{2}+a+1\Leftrightarrow (b^{2}+b+1)^{2}=a^{2}+a+1.$ (1)

Đặt $b^{2}+b+1=x.$Với $x\in \mathbb{N};x\geq 1$

Phương trình (1) có dạng: $x^{2}=a^{2}+a+1\Leftrightarrow 4x^{2}=4a^{2}+4a+a\Leftrightarrow 4x^{2}=(2a)^{2}+2.2a.1+1+3\Leftrightarrow 4x^{2}=(2a+1)^{2}+3\Leftrightarrow (2x)^{2}-(2a+1)^{2}=3\Leftrightarrow (2x-2a-1)(2x+2a+1)=3.$

Ta thấy $2x+2a+1\geq 3$ nên $2x+2a+1=3; 2x-2a-1=1\Leftrightarrow x=1; a=0.$

Với $x=1\Leftrightarrow b^{2}+b+1=1\Leftrightarrow b(b+1)=0\Leftrightarrow b=0$.

Vậy $(a,b)=(0,0)$ là một nghiệm của phương trình nhưng điều kiện bài toán là tìm a, b là số tự nhiên khác không nên phương trình vô nghiệm.