Chủ đề này có 1 trả lời

[Minhnguyenthe333]

Tìm tất cả các số tự nhiên $(m,x,y,p,q)$ với $p,q$ là số nguyên tố thỏa mãn: $2^{4m+2}+1=p^xq^y$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 12-08-2016 - 16:16

[I Love MC]

Dễ thấy $p,q$ lẻ 
Xét modulo $5 \Rightarrow$ tồn tại $p,q$ ít nhất một số là $5$. Giả sử $p=5$ 
PT $\Leftrightarrow (2^{2m+1}+1+2^{m+1})(2^{2m+1}+1-2^{m+1})=5^x.q^y$ 
Dễ thấy $gcd(2^{2m+1}+1+2^{m+1},2^{2m+1}+1-2^{m+1}) | 2^{m+2}$ mà công với việc $gcd(2^{2m+1}+1+2^{m+1},2^{2m+1}+1-2^{m+1}) | VP \Rightarrow gcd(2^{2m+1}+1+2^{m+1},2^{2m+1}+1-2^{m+1})=1$ 
Trường hợp 1 : $2^{2m+1}+1+2^{m+1}=5^x,2^{2m+1}+1-2^{m+1}=q^y \Rightarrow v_5(5^x.q^y)=v_5(4^{2m+1}+1)=v_5(5)+v_5(2m+1)=1+v_5(2m+1)$ 
$\Rightarrow 2^{2m+1}+1+2^{m+1}=5^x=5^{1+v_5(2m+1)} \le  5(2m+1)$ 
Suy ra $m \in \{0,1\}$ đến đây dễ dàng thu được $(m,x,y,p,q)=(0,1,0,5,q),(0,1,0,q,5)$ 
Trường hợp 2 : $2^{2m+1}+1+2^{m+1}=q^y,2^{2m+1}+1-2^{m+1}=5^x$ giải tương tự trường hợp 1 : 
Thu được  $(m,x,y,p,q)=(0,0,1,5,5),(1,1,1,5,13),(1,1,1,13,5),(2,2,1,5,41),(2,2,1,41,5)$ 
Trường hợp 3 : $2^{2m+1}+1+2^{m+1}=q^y.5^x,2^{2m+1}+1-2^{m+1}=1$ dễ thấy luôn $m=0$ suy ra $x=y=0$ 
Thu được $(m,x,y,p,q)=(0,0,0,5,q),(0,0,0,q,5)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 14-08-2016 - 17:18