Chủ đề này có 3 trả lời

[Phuong Thu Quoc]

Giải các phương trình sau:

1/ $\sqrt[4]{x-\sqrt{x^{2}-4}}+\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}=6$

2/ $729x^{4}+8\sqrt{1-x^{2}}=36$

[thuylinhnguyenthptthanhha]

Giải các phương trình sau:

1/ $\sqrt[4]{x-\sqrt{x^{2}-4}}+\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}=6$

 

Bài tg tự:

http://toan.hoctainh...-ti/37403#37403

[thuylinhnguyenthptthanhha]

Giải các phương trình sau:

 

2/ $729x^{4}+8\sqrt{1-x^{2}}=36$

http://diendantoanho...9x48sqrt1-x236/

[An Infinitesimal]

Bonus 

 

 

 

 

Đặt $a=x^2$ (cách đặt tự nhiên), ta có phương trình

$$729a^{2}+8\sqrt{1-a}=36.$$

 

Đặt $b=\sqrt{1-a}$ (cũng là một cách đặt tự nhiên), ta có hệ phương trình

\[\begin{cases} & 729a^{2}+8b=36, \\ &b^2+a=1. \end{cases}\]

Ta sẽ chọn $a$ làm "trụ" (không biến đổi) và hỏi rằng: liệu hệ nàỳ có thể xem là hệ đối xứng của $a$ và $f(b)$ nào đó  hay không?

So sánh bậc, ta thấy $f(b)$ là hàm bậc nhất theo $b$. Điều tốt hơn cả là $f(b)= \alpha b.$

 

Ngoài việc thay thay $b= \frac{c}{\alpha}$, tiến hành đồng nhất để chọn $\alpha$, ta có thể biến đổi để đưa ra những "phần không đổi". Ngoài cách chọn "$a$" làm trụ, ta thực hiện biến đổi để vế phải hai phương trình giống nhau. Hệ trên tương đương 

\[\begin{cases} & \left(\frac{9}{2}\right)^2a^{2}+\frac{2}{9}b=1, \\ &b^2+a=1. \end{cases}\]

Để bảm bảo hệ đối xứng thì cần có sự tương ứng $\left(\frac{9}{2}\right)^2a^{2}\leftrightarrow b^2=  \left(\frac{9}{2}\right)^2c^{2}$ và $c=\frac{2}{9}b \leftrightarrow a$. Do đó đặt $c=\frac{2}{9}b$, ta có hệ đối xứng sau

\[\begin{cases} & \left(\frac{9}{2}\right)^2a^{2}+c=1, \\ &\left(\frac{9}{2}\right)^2c^{2}+a=1. \end{cases}\]

 

------------------------------------------------------------------

Ngoài cách giải thích trên ta có thể lý giải qua cách giải đưa một lớp đặc biệt của  PT $\sqrt{ax+b}=cx^2+dx+e$ về hệ phương trình đối xứng.

(Bỏ qua trường hợp tầm thường ($c=0$))

 

Đặt $Ay+B= \sqrt{ax+b},$ ta có hệ 

\[\begin{cases} & (Ay+B)^2=ax+b, \\ & cx^2+dx+e=Ay+B. \end{cases}\]

 

\[\iff \begin{cases} & (Ay+B)^2=ax+b, \\ & \left(Ax+\frac{Ad}{2c}\right)^2=\frac{A^3}{c}y+\frac{4cA^2(B-e)+A^2d^2}{4c^2}. \end{cases}\]

Nếu hệ sau tồn tại $A, B$ thì ta có thể đưa về hệ đối xứng

\[\begin{cases} & B=\frac{Ad}{2c}, \\ & a=\frac{A^3}{c},\\& b=\frac{[4c(B-e)+A^2d^2]A^2}{4c^2}. \end{cases}\]

\[\begin{cases} & B=\frac{d\sqrt[3]{ac}}{2c}, \\ & A = \sqrt[3]{ac},\\& b=\frac{2d\sqrt[3]{ac}-4ce+d^2}{4c^2}\sqrt[3]{(ac)^2}. \end{cases}\]

 

Do đó, nếu $b=\frac{2d\sqrt[3]{ac}-4ce+d^2}{4c^2}\sqrt[3]{(ac)^2}$ thì ta có thể đưa hệ về hệ đối xứng thông qua phép đặt ẩn phụ $\sqrt[3]{ac}y+\frac{d\sqrt[3]{ac}}{2c}= \sqrt{ax+b}.$ Khi đó hệ trở thành

 

\[\begin{cases} & \left(\sqrt[3]{ac} y+\frac{d\sqrt[3]{ac}}{2c}\right)^2=ax+b, \\ & \left(\sqrt[3]{ac} x+\frac{d\sqrt[3]{ac}}{2c}\right)^2=ay+b. \end{cases}\]

 

Phương trình $$729u^{2}+8\sqrt{1-u}=36.$$

$$\iff \sqrt{1-u}=-\frac{81}{4}a^{2}+\frac{9}{2}.$$

Nghĩa là $a=-1, b=1, c= -\frac{729}{8}, d=0, e= \frac{9}{2}.$

Điều kiện: $b=\frac{2d\sqrt[3]{ac}-4ce+d^2}{4c^2}\sqrt[3]{(ac)^2}$  được thỏa mãn. Ta chọn được $A=\frac{9}{2}, B=0.$

Do đó cách đặt ẩn phụ $\frac{9}{2}y=\sqrt{1-u}$ sẽ đưa phương trình về hệ đối xứng.

 

 

Thí dụ PT thuộc lớp này là : $2x^2-6x-1 =\sqrt{4x+5}.$

Điều kiện: $b=\frac{2d\sqrt[3]{ac}-4ce+d^2}{4c^2}\sqrt[3]{(ac)^2}$  được thỏa mãn. Ta chọn được $A=2, B=-3.$

Do đó cách đặt ẩn phụ $2y-3=\sqrt{4x+5}$ sẽ đưa phương trình về hệ đối xứng.

-----------------------------------------------------

 

Xem xét và đối chiếu lớp PT trên với lớp PT sau: 

\[\sqrt{ax+b}= r(ux+v)+dx+e,\]

trong đó $u=ar+d, v=br+e,$ đặt $\sqrt{ax+b}=u y+v$ sẽ đưa ra hệ đối xứng.

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 23-08-2016 - 23:16