Chủ đề này có 3 trả lời

[Troolller]

Cho a+b+c=6. Chứng minh $\frac{a}{b^{2}+2}+\frac{b}{c^{2}+2}+\frac{c}{a^{2}+2}\geq 1$

[L Lawliet]

Cho a+b+c=6. Chứng minh $\frac{a}{b^{2}+2}+\frac{b}{c^{2}+2}+\frac{c}{a^{2}+2}\geq 1$

Lời giải.

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:

$$\frac{a}{b^{2}+2}+\frac{b^{2}+2}{18}+\frac{a^{2}}{12}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a}{b^{2}+2}\cdot \frac{b^{2}+2}{18}\cdot \frac{a^{2}}{12}}=\frac{a}{2}$$

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng vế theo vế sau đó áp dụng bất đẳng thức $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{3}$ là được bất đẳng thức cần chứng minh.

[Troolller]

Lời giải.

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:

$$\frac{a}{b^{2}+2}+\frac{b^{2}+2}{18}+\frac{a^{2}}{12}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a}{b^{2}+2}\cdot \frac{b^{2}+2}{18}\cdot \frac{a^{2}}{12}}=\frac{a}{2}$$

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng vế theo vế sau đó áp dụng bất đẳng thức $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{3}$ là được bất đẳng thức cần chứng minh.

Thế thì ngược dấu à bạn

[caobo171]

Lời giải.

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:

$$\frac{a}{b^{2}+2}+\frac{b^{2}+2}{18}+\frac{a^{2}}{12}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a}{b^{2}+2}\cdot \frac{b^{2}+2}{18}\cdot \frac{a^{2}}{12}}=\frac{a}{2}$$

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng vế theo vế sau đó áp dụng bất đẳng thức $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{3}$ là được bất đẳng thức cần chứng minh.

bạn làm ngược dấu rồi nhé 
Ta có $\sum \frac {a}{b^{2}+2}=)=\sum \frac{1}{2}a(1-\frac{b^{2}}{b^2+2})\geq \sum \frac{1}{2}a(1-\frac{b}{2\sqrt{2}})$
đến đây sử dụng BĐT : $xy+yz+zx \leq \frac{1}{3} (x+y+z) ^{2} $