Câu 1 :Cho a,b,c thỏa mãn : $a+b+c=2$
CMR:$(a+b-ab)(b+c-bc)(c+a-ca)\leqslant 1-abc$
Dấu bằng của bài toán xảy ra khi $a=b=1$ và $c=0$ hoặc các hoán vị chứ không phải xảy ra khi $a=b=c$.
Đặt $a=1-x$, $b=1-y$, $c=1-z$ thì $x+y+z=1$ (vì $a+b+c=2$).
Khi đó:
$$a+b-ab=2-x-y-\left ( 1-x \right )\left ( 1-y \right )=1-xy$$
Tương tự ta được $b+c-bc=1-yz$ và $c+a-ca=1-zx$.
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
$$\left ( 1-xy \right )\left ( 1-yz \right )\left ( 1-zx \right )\leq 1-\left ( 1-x \right )\left ( 1-y \right )\left ( 1-z \right )$$
$$\Leftrightarrow x^{2}y^{2}z^{2}-xyz\left ( x+y+z \right )+x+y+z-1\geq 0$$
$$\Leftrightarrow x^{2}y^{2}z^{2}\geq 1$$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=1$ và $c=0$ hoặc các hoán vị.
Cách khác là với bất đẳng thức dạng này cậu có thể xài phương pháp $\text{p, q, r}$. Khi đó từ giả thuyết $a+b+c=2$ bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
$$\left ( ab+bc+ca-abc-1 \right )^{2}\geq 0$$
Bất đẳng thức trên luôn đúng.
Edited by rfiyms, 16-08-2016 - 18:31.