Chủ đề này có 3 trả lời

[Silverbullet069]

1. Cho x,y là hai số dương có tích bằng 1. CMR: $x + y + \frac{1}{x + y} \geq \frac{5}{2}$.

2. CMR : $\frac{-1}{2} \leq \frac{(a + b)(1-ab)}{(a^2 + 1)(b^2 + 1)} \leq \frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Silverbullet069: 17-08-2016 - 19:41

[Element hero Neos]

1. Cho x,y là hai số dương có tích bằng 1. CMR: $x + y + \frac{1}{x + y} \geq \frac{5}{2}$.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$x+y+\frac{1}{x+y}=\frac{3(x+y)}{4}+(\frac{x+y}{4}+\frac{1}{x+y})\geq\frac{3.2\sqrt{xy}}{4}+2\sqrt{\frac{x+y}{4}.\frac{1}{x+y}}=\frac{5}{2}(Q.E.D)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 17-08-2016 - 19:46

[NTA1907]

2. CMR : $\frac{-1}{2} \leq \frac{(a + b)(1-ab)}{(a^2 + 1)(b^2 + 1)} \leq \frac{1}{2}$

Áp dụng AM-GM ta có:

$(a+b)^{2}(1-ab)^{2}=(a^{2}+b^{2}+2ab)(a^{2}b^{2}-2ab+1)\leq \frac{(a^{2}+b^{2}+a^{2}b^{2}+1)^{2}}{4}=\frac{(a^{2}+1)^{2}(b^{2}+1)^{2}}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{(a+b)^{2}(1-ab)^{2}}{(a^{2}+1)^{2}(b^{2}+1)^{2}}\leq \frac{1}{4}$

$\Rightarrow đpcm$

[L Lawliet]

2. CMR : $\frac{-1}{2} \leq \frac{(a + b)(1-ab)}{(a^2 + 1)(b^2 + 1)} \leq \frac{1}{2}$

Lời giải.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$$\left | \dfrac{\left ( a+b \right )\left ( 1-ab \right )}{\left ( a^{2}+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )} \right |\leq \dfrac{1}{2}$$

Đặt $a=\tan \alpha$, $b=\tan \beta$ khi đó:

\begin{align*} \left | \dfrac{\left ( a+b \right )\left ( 1-ab \right )}{\left ( a^{2}+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )} \right | &=\left | \dfrac{\left ( \tan \alpha +\tan \beta \right )\left ( 1-\tan \alpha \tan \beta \right )}{\left ( \tan ^{2}\alpha +1 \right )\left ( \tan ^{2}\beta +1 \right )} \right | \\ &=\left | \cos ^{2}\alpha \cos ^{2}\beta \dfrac{\sin \left ( \alpha +\beta  \right )\left ( \cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta  \right )}{\cos ^{2}\alpha \cos ^{2}\beta } \right | \\ &=\left | \sin \left ( \alpha +\beta  \right )\cos \left ( \alpha +\beta  \right ) \right | \\ &=\dfrac{1}{2}\left | \sin 2\left ( \alpha +\beta  \right ) \right |\leq \dfrac{1}{2} \end{align*}

 

Hoặc có thể làm cách khác như sau:

Lời giải.

Ta có:

$$\dfrac{\left ( a+b \right )\left ( 1-ab \right )}{\left ( a^{2}+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{\left ( ab-a-b-1 \right )^{2}}{2\left ( a^{2}+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )}\geq 0$$

$$\dfrac{1}{2}-\dfrac{\left ( a+b \right )\left ( 1-ab \right )}{\left ( a^{2}+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )}=\dfrac{\left ( ab+a+b-1 \right )^{2}}{2\left ( a^{2}+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )}\geq 0$$