TRƯỜNG PTTH CHUYÊN KHTN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 10
BỘ MÔN CHUYÊN TOÁN NĂM HỌC 2016 - 2017
Thời gian làm bài: 180 phút
(Lần 1, ngày 19/08/2016)
Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $504(2017^n+1)$ là tích của hai số nguyên liên tiếp.
Bài 2: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương phân biệt $(a,b)$ sao cho $a^2+b\vdots b^2-a$ và$b^2+a\vdots a^2-b$
Bài 3: Cho $x,y,z >0, x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng
$\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}+3\sqrt{6}\leq \sqrt{8}xyz$
$\fbox{Bài 4}$: Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp trong đường tròn $(O)$. $M,N$ là hai điểm di chuyển trên cung nhỏ $BC$ của $(O)$ sao cho $MN\parallel BC$ đồng thời có các điểm $E,F$ lần lượt thuộc các đoạn $CA,AB$ để $EN, FM$ cùng vuông góc với $MN$.
a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ luôn đi qua một điểm $P$ cố định khác $A$ khi $MN$ thay đổi.
b) Gọi $Q$ đối xứng với $P$ qua $EF$. Chứng minh rằng $Q$ luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi $M, N$ thay đổi.
Bài 5: Cho $ABC$ là một tam giác tùy ý. Chứng minh rằng nếu mỗi điểm nằm trong một mặt phẳng được tô bởi đúng một trong hai màu xanh hoặc đỏ thì có tồn tại hai điểm màu đỏ có khoảng cách là 1 hoặc tồn tại ba điểm màu xanh mà chúng tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác $ABC$.
------- HẾT -------
----------------------------------------------------------------------------------------------
$\fbox{Nguồn: Bùi Duy Hiếu}$
----------------------------------------------------------------------------------------------
Thế là còn lại bài hình (4)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoaiBao: 19-08-2016 - 07:31