Tìm công thức tổng quát của dãy số $(u_{n})$
$\left\{\begin{matrix} u_{1}=10;u_{2}=19 & & \\ u_{n+2}=\frac{u_{n+1}^{2}+u_{n}-1}{u_{n}},\forall n\in \mathbb{N} & & \end{matrix}\right.$
Tìm công thức tổng quát của dãy số $(u_{n})$
$\left\{\begin{matrix} u_{1}=10;u_{2}=19 & & \\ u_{n+2}=\frac{u_{n+1}^{2}+u_{n}-1}{u_{n}},\forall n\in \mathbb{N} & & \end{matrix}\right.$
Tìm công thức tổng quát của dãy số $(u_{n})$
$\left\{\begin{matrix} u_{1}=10;u_{2}=19 & & \\ u_{n+2}=\frac{u_{n+1}^{2}+u_{n}-1}{u_{n}},\forall n\in \mathbb{N} & & \end{matrix}\right.$
Mặc dù không biết rõ về dãy số nhưng bài này cũng thấy qua rồi mới biết.
Ta có thể giải theo phương pháp quy nạp để chứng minh: $u_{n+1}=2u_n -1$.
Với $n =0$ , $n=1$ , điều này dễ dàng.
Cho nó đúng tới $n=k$ thì ta có : $u_{k+1}=2u_k -1$ $(1)$
Ta sẽ chứng minh nó đúng với $n=k+1$. Do $u_{k+2}=\frac{u_{k+1}^2+u^k -1}{u^k}=\frac{2u_{k+1}^2+u_{k+1}-1}{u_{k+1}+1}=2u_{k+2}-1$
Theo tính chất quy nạp ta có được điều cần chứng minh hay công thức tổng quát của bài.
ta cũng có thể quy nạp theo công thức $u_{n+2}=3u_{n+1}-2u_{n}$
MÌnh xin cập nhật lại lời giải: (Do mới tham khảo chuyên đề hàm sinh trong Quyển DTTH trong DDTH nên tôi áp dụng vào bài này thử ai ngờ được. "May mắn" )
Trở lại bài:
Coi như lời giải trên #2 là một bổ đề nhé.
Đặt $G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}u_nx^n$
$=10+\sum_{n=1}^{\infty}u_nx^n$
$=10+\sum_{n=1}^{\infty}2u_{n-1}x^n-\sum_{n=0}^{\infty}x^n+1$
$=11+2x.G(x)-\frac{1}{1-x}$
$\Rightarrow G(x)=\frac{10-11x}{(1-2x)(1-x)}$
$=10(\frac{2}{1-2x}-\frac{1}{1-x})-11(\frac{1}{1-2x}-\frac{1}{1-x})$
$=9\frac{1}{1-2x}+\frac{1}{1-x}$
$=9\sum_{n=0}^{\infty}2^nx^n+\sum_{n=0}^{\infty}x^n$
$=\sum_{n=0}^{\infty}(9.2^n+1)x^n$
Do đó: $\sum_{n=0}^{\infty}u_nx^n=\sum_{n=0}^{\infty}(9.2^n+1)x^n$
Suy ra công thức tổng quát của dãy là
$u_n=9.2^n+1$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh