Bài toán $(Italy \;\;\ TST \;\;\ 2003):$ Tìm bộ số nguyên $(a,b,p)$ sao cho $a,b$ là số nguyên dương và $p$ là số nguyên tố thỏa mãn:
$$2^a+p^b=19^a.$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 30-08-2016 - 20:40
Bài toán $(Italy \;\;\ TST \;\;\ 2003):$ Tìm bộ số nguyên $(a,b,p)$ sao cho $a,b$ là số nguyên dương và $p$ là số nguyên tố thỏa mãn:
$$2^a+p^b=19^a.$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 30-08-2016 - 20:40
$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$
$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$
Bài toán $(Italy \;\;\ TST \;\;\ 2003):$ Tìm bộ số nguyên $(a,b,p)$ sao cho $a,b$ là số nguyên dương và $p$ là số nguyên tố thỏa mãn:
$$2^a+p^b=19^a.$$
Lời giải của frill trên AoPS:
Another way to solve it is to use the Lifting the exponent lemma (LTE).
So noting $p=17$ we need to solve $2^{a}+17^{b}=19^{a}=(2+17)^{a}>2^{a}+17^{a}\ \forall a>1$$\therefore b\geq a+1$ or $a=1$ if the latter then $a=b=1$ otherwise:$17\mid19-2$ and $17\nmid19,17\nmid2$,$\therefore$ by LTE: $v_{17}(19^{a}-2^{a})=v_{17}(19-2)+v_{17}(a)$$\Leftrightarrow b=1+v_{17}(a)$$\therefore 1+v_{17}(a)\geq a+1$$\Leftrightarrow v_{17}(a)\geq a$ which is untrue $\forall a \in Z>0$So the only solution for $(a,b,p)$ is $(1,1,17)$
Anyone can see $p=17$.
Looking modulo $9$, we can establish $a=1\pmod{6}$. Note $a=1\iff b=1$, the solution $(1,1)$ is produced, otherwise $a\ge 7$.Now let's rearrange: $2^a+17^b=19^a$ which means that $17^b=(19-2)(19^{a-1}+2\cdot 19^{a-2}+2^2\cdot 19^{a-3}\ldots + 2^{a-1})$.Hence $17^{b-1}=(19^{a-1}+2\cdot 19^{a-2}+2^2\cdot 19^{a-3}\ldots + 2^{a-1})$.The latter equation writes as $1=3^{a-1}+2\cdot 3^{a-2} \pmod{4}$. Since $a=1\pmod{6}$, the last equation cannot hold since $a$ is odd ($LHS=1$ while $RHS=3$). So only solution is $(1,1,17)$.
Lời giải khác rất hay của Vax trên AoPS:
$p^b = 19^a-2^a$
If $a > 1$ then with Zsigmondy's Theorem there exists a prime p, such that $p \mid 19^a-2^a \wedge p \nmid 19-2 = 17$, so $a=1 \rightarrow p^b = 17 \rightarrow b=1 \wedge p=17$
pb=19a-2a .Dễ dàng có được p=17 .ta có v17(19a-2a)=1+v17(a).nên b <= 1+v17(a)<=1+a
nếu b=1+a suy ra $19^a-2^a<17^\left ( 1+a \right )$
xét b<1+a thi 1$\leq b\leq a$ mà 19a-2a >= 17a với a>=1 mà $17^a\geq 17^b$ suy ra a =b=1
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh