Chủ đề này có 3 trả lời

[huyqhx9]

Cho các số dương a,b,c thỏa $abc=1$ .Chứng minh rằng:

 

$\frac{a}{a^{2}+3}+\frac{b}{b^{2}+3}+\frac{c}{c^{2}+3}\leq \frac{3}{4}$

[laquochiep3665]

bạn thử giải bài này bằng pp tiếp tuyến xem

[superpower]

Cho các số dương a,b,c thỏa $abc=1$ .Chứng minh rằng:

 

$\frac{a}{a^{2}+3}+\frac{b}{b^{2}+3}+\frac{c}{c^{2}+3}\leq \frac{3}{4}$

Xét hàm số $f(x) = \frac{x}{x^2+3} - \frac{1}{8}lna $ trên $(0,+\infty )$ 

Có $f'(x) =\frac{3-x^2}{(x^2+3)^2} - \frac{1}{8x} $

Kẻ bảng biến thiên, ta chứng minh đc $f(x) \leq f(1) $

Do đó cộng hết lại ta có đpcm 

[Nguyenhuyen_AG]

Cho các số dương a,b,c thỏa $abc=1$ .Chứng minh rằng:

 

$\frac{a}{a^{2}+3}+\frac{b}{b^{2}+3}+\frac{c}{c^{2}+3}\leq \frac{3}{4}$

 

Bài này có thể dùng bất đẳng thức \[\sum \sqrt{\frac{a}{a+b}} \leqslant \frac{3}{\sqrt{2}}\] để giải. Tuy nhiên vẫn có thể giải bằng Cauchy-Schwarz bằng hai cách.

 

Link: http://artofproblems...h596687p3547490

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 02-09-2016 - 20:28