Blue Sky
$\left\{\begin{matrix} x_1 = 3\\ x_{n+1} = \dfrac{x_n}{2} + \dfrac{n^2}{4n^2+a}.\sqrt{x_n^2+3} \end{matrix}\right.$
a) Với a = 0. Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn .
b) Với a = 1. Chứng minh $x_{n} \geq 1 - \frac{2}{n} . (n \geq 2)$.Chứng minh dãy có giới hạn và tìm giới hạn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Math Master: 04-09-2016 - 15:35
~Trí tưởng tượng quan trọng hơn kiến thức.~
Imagination is more important than knowledge.
-Einstein-
Thượng úy
a) Ta chứng minh dãy số luôn dương và là dãy giảm bằng Quy nạp.
Dãy bị chặn dưới bởi $0$, Theo Weierstrss thì dãy có giới hạn. Đặt: $lim(x_{n})=\alpha$.
Suy ra ta giải phương trình: $\alpha =\frac{\alpha }{2}+\frac{1}{4}\sqrt{\alpha ^2+3}\Rightarrow \alpha =1$ do $\alpha >0$.
b) Với $a=1$ thì :
$1-\frac{2}{n+1}\leq x_{n+1}\leq \frac{x_n}{2}+\frac{1}{4}{\sqrt{x_{n}^2+3}}$
Giới hạn của 2 dãy đều bằng $1$ nên Theo nguyên lý kẹp ta có $lim(x_{n})=1$.
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
Sĩ quan
a) Ta chứng minh dãy số luôn dương và là dãy giảm bằng Quy nạp.
Dãy bị chặn dưới bởi $0$, Theo Weierstrss thì dãy có giới hạn. Đặt: $lim(x_{n})=\alpha$.
Suy ra ta giải phương trình: $\alpha =\frac{\alpha }{2}+\frac{1}{4}\sqrt{\alpha ^2+3}\Rightarrow \alpha =1$ do $\alpha >0$.
b) Với $a=1$ thì :
$1-\frac{2}{n+1}\leq x_{n+1}\leq \frac{x_n}{2}+\frac{1}{4}{\sqrt{x_{n}^2+3}}$
Giới hạn của 2 dãy đều bằng $1$ nên Theo nguyên lý kẹp ta có $lim(x_{n})=1$.
Bạn chứng minh ý đầu chưa
Đó mới là ý chính của bài toán
Ngoài ra ở ý $b$ ngoài cách đó
Thì mình còn 1 cách chứng minh là khi $a=1 $ có $lim =1 $ luôn
Blue Sky
Bạn chứng minh ý đầu chưa
Đó mới là ý chính của bài toán
Ngoài ra ở ý $b$ ngoài cách đó
Thì mình còn 1 cách chứng minh là khi $a=1 $ có $lim =1 $ luôn
Full cho em hộ anh. Em mới tìm hiểu phần này thôi =))
~Trí tưởng tượng quan trọng hơn kiến thức.~
Imagination is more important than knowledge.
-Einstein-
Sĩ quan
Full cho em hộ anh. Em mới tìm hiểu phần này thôi =))
Thật ra bài này em có thể đọc trong phần lời giải và bình luận kì thi VMO 2015 của thầy Dũng
Có 2 cách giải
Anh có 1 lời giải khác, dùng bổ đề, nhưng chứng minh tương tự thôi nên không đăng
VMO_2015_LoiGiai&BinhLuan.pdf 484.59K
119 Số lần tải
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học
