Chủ đề này có 1 trả lời

[Khongten012]

cho tam giac abc,phân giác AA',BB' cắt nhau tại I.$Biết \frac{IA}{IA'} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}; \frac{IB}{IB'}=\sqrt{3}$ tính các góc tam giác abc

[The Flash]

Đặt $BC=a,AC=b,AB=c$

Ta có $\frac{A'B}{A'C}=\frac{c}{b}\Rightarrow \frac{A'B}{a}=\frac{c}{b+c}\Rightarrow A'B=\frac{ca}{b+c}$

Do đó $\frac{IA}{IA'}=\frac{c}{A'B}=\frac{c}{\frac{ca}{b+c}}=\frac{b+c}{a}$

$\Rightarrow \frac{b+c}{a}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}\Rightarrow 2(b+c)=a\left ( \sqrt{3}+1 \right )$

Tương tự ta có: $\frac{IB}{IB'}=\frac{c+a}{b}$$\Rightarrow \frac{c+a}{b}=\sqrt{3}\Rightarrow c+a=b\sqrt{3}$

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 2(b+c)=a\left ( \sqrt{3}+1 \right ) & \\ c+a=b\sqrt{3} & \end{matrix}\right.$

ta được $\left\{\begin{matrix} b=c\sqrt{3} & \\ a=2c & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b^2=3c^2 & \\ a^2=4c^2 & \end{matrix}\right.\Rightarrow a^2-b^2=c^2\Rightarrow a^2=b^2+c^2$

Suy ra $\triangle ABC$ vuông tại $A$

Mặt khác $a=2c$ $\Rightarrow \widehat{C}=30^{\circ},\widehat{B}=60^{\circ}$

Vậy số đo các góc của $\triangle ABC$ là $\widehat{A}=90^{\circ},\widehat{B}=60^{\circ},\widehat{C}=30^{\circ}$