Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$.Tìm GTNN:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$
Bắt đầu bởi huyqhx9, 06-09-2016 - 17:33
#2
Đã gửi 06-09-2016 - 17:44
L Lawliet
-
- Thành viên
-
- 1624 Bài viết
Tiểu Linh
Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$.Tìm GTNN:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$
Lời giải.
Bằng biến đổi tương đương ta dễ dàng chứng minh:
$$3\left ( a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a \right )\leq \left ( a+b+c \right )\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )$$
Do đó:
$$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\dfrac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+\dfrac{9-\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}{2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+\dfrac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\dfrac{9}{2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}-\dfrac{1}{2}$$
$$\Leftrightarrow P\geq 2.3-\dfrac{9}{2.3}-\dfrac{1}{2}=4$$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.
- le truong son và huyqhx9 thích
Thích ngủ.
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
