1 reply to this topic

[huyqhx9]

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$.Tìm GTNN:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$

[L Lawliet]

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$.Tìm GTNN:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$

Lời giải.

Bằng biến đổi tương đương ta dễ dàng chứng minh:

$$3\left ( a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a \right )\leq \left ( a+b+c \right )\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )$$

Do đó:

$$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\dfrac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+\dfrac{9-\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}{2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+\dfrac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\dfrac{9}{2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}-\dfrac{1}{2}$$

$$\Leftrightarrow P\geq 2.3-\dfrac{9}{2.3}-\dfrac{1}{2}=4$$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.