Chủ đề này có 1 trả lời

[ILoveMath4864]

tìm x, y thỏa mãn $2(x\sqrt{y-4}+y\sqrt{x-4})=xy$

[L Lawliet]

tìm x, y thỏa mãn $2(x\sqrt{y-4}+y\sqrt{x-4})=xy$

Lời giải.

Điều kiện xác định: $x\geq 4$, $y\geq 4$.

Phương trình tương đương:

$$\dfrac{\sqrt{x-4}}{x}+\dfrac{\sqrt{y-4}}{y}=\dfrac{1}{2}$$

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:

$$\dfrac{\sqrt{x-4}}{x}=\dfrac{\sqrt{4\left ( x-4 \right )}}{x}\leq \dfrac{4+\left ( x-4 \right )}{2.2x}=\dfrac{1}{4}$$

$$\dfrac{\sqrt{y-4}}{y}=\dfrac{\sqrt{4\left ( y-4 \right )}}{y}\leq \dfrac{4+\left ( y-4 \right )}{2.2y}=\dfrac{1}{4}$$

$$\Rightarrow \dfrac{\sqrt{x-4}}{x}+\dfrac{\sqrt{y-4}}{y}\leq \dfrac{1}{2}$$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=8$.