Chủ đề này có 1 trả lời

[terence]

Cho x, y, z >0 và thỏa mãn: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

CMR: $\frac{x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y}{x^{2}+z^{2}}+\frac{z}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi terence: 10-09-2016 - 15:57

[leminhnghiatt]

Cho x, y, z >0 và thỏa mãn: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

CMR: $\frac{x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y}{x^{2}+z^{2}}+\frac{z}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Ta có: $\dfrac{x}{y^2+z^2}=\dfrac{x}{1-x^2}=\dfrac{x^2}{x(1-x^2)}$

 

Xét : $[x(1-x^2)]^2=\dfrac{1}{2}.2x^2(1-x^2)(1-x^2) \leq \dfrac{1}{2}.\dfrac{(2x^2+1-x^2+1-x^2)^3}{27}=\dfrac{4}{27}$

 

$\rightarrow x(1-x^2) \leq \dfrac{2\sqrt{3}}{9} \rightarrow \dfrac{x^2}{x(1-x^2)} \geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}x^2$

 

Vậy $\sum \dfrac{x^2}{x(1-x^2)} \geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}(x^2+y^2+z^2)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

 

Dấu "=" $\iff x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 10-09-2016 - 16:09