a) $AB$ là là đường cao cũng là phân giác trong $\bigtriangleup ADM$ cân tại $A$ nên $\widehat{BAD}=\widehat{BAM}$. Tương tự $\widehat{CAE}=\widehat{CAM}$
Suy ra $\widehat{DAE}=2\widehat{BAC}=140^{\circ}$
b) Đầu tiên, $AD=AE$ do cùng bằng $AM$ nên $\bigtriangleup ADE$ cân tại $A\ \implies \widehat{ADE}=\widehat{AED}$
Do $\bigtriangleup ADI=\bigtriangleup AMI\ \implies \widehat{ADI}=\widehat{AMI}$. Tương tự, $\widehat{AMK}=\widehat{AEK}$
Suy ra $\widehat{AMI}=\widehat{AMK}\implies MA$ là phân giác $\widehat{IMK}$
c) Giả sử $M'$ là hình chiếu của $A$ lên $BC$ và $D',\ E'$ lần lượt là điểm đối xứng của $M'$ qua $AB$ và $AC$. Ta chứng minh $DE\geq D'E'$
Đầu tiên $\bigtriangleup AD'E' \sim \bigtriangleup ADE\ \implies\ \frac{D'E'}{DE}=\frac{AD'}{AD}$
Mặt khác $AD'=AM',\ AD=AM\ \implies\ \frac{D'E'}{DE}=\frac{AM'}{AM}$.
Mà $AM'\leq AM$ nên $\frac{D'E'}{DE}=\frac{AM'}{AM}\leq 1\implies DE\geq D'E'$
Như vậy $DE$ ngắn nhất khi $M$ là hình chiếu của $A$ lên $BC$, hay $AM\perp BC$