Chủ đề này có 6 trả lời

[Element hero Neos]

Cho a,b,c là các số nguyên không âm thỏa mãn

$c(ac+1)^2=(5c+2b)(2c+b)$

Chứng minh c là số chính phương.

[Zz Isaac Newton Zz]

Dùng định lý LTE để chứng minh nha bạn, bạn lên mạng tìm tài liệu "Các phương pháp giải toán qua các kỳ thi Olympic" họ nói rõ lắm...

[I Love MC]

Cho $d=gcd(b,c)$ suy ra $c=dm,d=dn$ với $m,n$ nguyên dương thỏa $(m,n)=1$ 
Đẳng thức $\Leftrightarrow m(amd+1)^2=d(2n+5m)(2m+n)$ 
Mà $gcd(d,dma+1)=1$ suy ra $d|m$ . Đặt $m=kd$ suy ra $(k,n)=(d,n)=1$ 
Khi đó đẳng thức $\Leftrightarrow k(d^2ka+1)^2=(5dk+2n)(2dk+n)$ 
Mà $(k,2dk+n)=1$ suy ra $k|5dk+2n \Rightarrow k|2n$ mà $(n,k)=1$ suy ra $k \in \{1,2\}$ 
Trường hợp 1 : $k=2$ 
Khi đó $(ad^2+1)^2=(5d+n)(4d+n)$ 
Vì $(5d+n,4d+n)=(d,n)=1$ nên tồn tại $x,y$ nguyên dương và $(x,y)=1$ để 
$5d+n=x^2,4d+n=y^2 \Rightarrow x^2-y^2=d$ 
Mà $2ad^2+1=xy \Rightarrow a=\frac{xy-1}{2(x^2-y^2)^2}$ 
Mà $(x+y)^2>xy-1$ và $2(x^2-y^2)^2-(x+y)^2>0$ 
Do đó $2(x^2-y^2)^2>xy-1 \Rightarrow a<1$ trái với giả thiết 
Loại bỏ trường hợp này 
Trường hợp 2 : $k=1$ 
$d=m$ suy ra $c=d^2,b=dn$ 
Đẳng thức đã cho viết lại thành $(ad^2+1)^2=(5d+2n)(2d+n)$ 
Mà chú ý là $(5d+2n,2d+n)=(d,n)=1$ 
Do đó  tồn tại $x,y$ nguyên dương và $(x,y)=1$ để  $5d+2n=x^2,2d+n=y^2$ 
Suy ra $d=x^2-2y^2,n=5y^2-2x^2$ nếu $x$ chẵn thì đặt $x=2l$ suy ra $d=4l^2-2y^2,n=5y^2-8l^2$ 
Khi đó $(ad^2+1)^2=4l^2y^2$ hay là $a(4l^2-2y^2)^2+1=2ly$ rõ ràng là không xảy ra vì do hai vế của nó khác tính chẵn lẻ 
Suy ra $x$ lẻ dẫn đến $d$ hay $c$ lẻ suy ra $c$ là số chính phương lẻ 
$c$ là số chính phương có vẻ chưa chặt
 

[hoangvunamtan123]

Cho $d=gcd(b,c)$ suy ra $c=dm,d=dn$ với $m,n$ nguyên dương thỏa $(m,n)=1$ 
Đẳng thức $\Leftrightarrow m(amd+1)^2=d(2n+5m)(2m+n)$ 
Mà $gcd(d,dma+1)=1$ suy ra $d|m$ . Đặt $m=kd$ suy ra $(k,n)=(d,n)=1$ 
Khi đó đẳng thức $\Leftrightarrow k(d^2ka+1)^2=(5dk+2n)(2dk+n)$ 
Mà $(k,2dk+n)=1$ suy ra $k|5dk+2n \Rightarrow k|2n$ mà $(n,k)=1$ suy ra $k \in \{1,2\}$ 
Trường hợp 1 : $k=2$ 
Khi đó $(ad^2+1)^2=(5d+n)(4d+n)$ 
Vì $(5d+n,4d+n)=(d,n)=1$ nên tồn tại $x,y$ nguyên dương và $(x,y)=1$ để 
$5d+n=x^2,4d+n=y^2 \Rightarrow x^2-y^2=d$ 
Mà $2ad^2+1=xy \Rightarrow a=\frac{xy-1}{2(x^2-y^2)^2}$ 
Mà $(x+y)^2>xy-1$ và $2(x^2-y^2)^2-(x+y)^2>0$ 
Do đó $2(x^2-y^2)^2>xy-1 \Rightarrow a<1$ trái với giả thiết 
Loại bỏ trường hợp này 
Trường hợp 2 : $k=1$ 
$d=m$ suy ra $c=d^2,b=dn$ 
Đẳng thức đã cho viết lại thành $(ad^2+1)^2=(5d+2n)(2d+n)$ 
Mà chú ý là $(5d+2n,2d+n)=(d,n)=1$ 
Do đó  tồn tại $x,y$ nguyên dương và $(x,y)=1$ để  $5d+2n=x^2,2d+n=y^2$ 
Suy ra $d=x^2-2y^2,n=5y^2-2x^2$ nếu $x$ chẵn thì đặt $x=2l$ suy ra $d=4l^2-2y^2,n=5y^2-8l^2$ 
Khi đó $(ad^2+1)^2=4l^2y^2$ hay là $a(4l^2-2y^2)^2+1=2ly$ rõ ràng là không xảy ra vì do hai vế của nó khác tính chẵn lẻ 
Suy ra $x$ lẻ dẫn đến $d$ hay $c$ lẻ suy ra $c$ là số chính phương lẻ 
$c$ là số chính phương có vẻ chưa chặt
 

giải theo LTE cho nhanh đi

[Element hero Neos]

Dùng định lý LTE để chứng minh nha bạn, bạn lên mạng tìm tài liệu "Các phương pháp giải toán qua các kỳ thi Olympic" họ nói rõ lắm...

giải theo LTE cho nhanh đi

Sao hai bạn không gửi bài đầy đủ luôn?

[hoangvunamtan123]

Cho a,b,c là các số nguyên không âm thỏa mãn

$c(ac+1)^2=(5c+2b)(2c+b)$

Chứng minh c là số chính phương.

từ đề bài ta dễ dàng suy ra được gcd(c,ac+1)=1 và b² chia hết cho c
gọi p là 1 ước nguyên tố của c ta có v_p(c)$\leq$ v_p(2b2)=v_p(2)+v_p(b^2) \leq 1+v_p(b2)=1+2vp(b) (0)
giả sử v_pc \leq v_pb .Ta có v_pc= vp(5c+2b)+vp(2c+b) \geq v_p(7c)+v_p(3c)>vpc (1) ( theo giả thiết v_pc \leq v_pb) nên v_pc \geqv_pb
làm tiếp tục như 1 ta có vpc $\geq$ 2vpb+1 (tại vì 3,7, là số  nguyên tố ) .mà dấu = ở đây có thể chỉ xảy ra khi p=3 hoăc 7 ,và ở (0) thì dấu = có thể chỉ xảy ra khi p=2 ,nó trái ngược nhau nên đổi lại ta sẽ có vpc$\leq$2vp(b) ở (0)và vpc$\geq$2vpb .từ đó suy ra vpc=2vpb .nên c là số chính phương
mình không dùng LATEX bạn chịu khó đọc có gì góp ý giúp mình

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangvunamtan123: 13-09-2016 - 05:55

[Minh Hieu Hoang]

Cho $d=gcd(b,c)$ suy ra $c=dm,d=dn$ với $m,n$ nguyên dương thỏa $(m,n)=1$ 
Đẳng thức $\Leftrightarrow m(amd+1)^2=d(2n+5m)(2m+n)$ 
Mà $gcd(d,dma+1)=1$ suy ra $d|m$ . Đặt $m=kd$ suy ra $(k,n)=(d,n)=1$ 
Khi đó đẳng thức $\Leftrightarrow k(d^2ka+1)^2=(5dk+2n)(2dk+n)$ 
Mà $(k,2dk+n)=1$ suy ra $k|5dk+2n \Rightarrow k|2n$ mà $(n,k)=1$ suy ra $k \in \{1,2\}$ 
Trường hợp 1 : $k=2$ 
Khi đó $(ad^2+1)^2=(5d+n)(4d+n)$ 
Vì $(5d+n,4d+n)=(d,n)=1$ nên tồn tại $x,y$ nguyên dương và $(x,y)=1$ để 
$5d+n=x^2,4d+n=y^2 \Rightarrow x^2-y^2=d$ 
Mà $2ad^2+1=xy \Rightarrow a=\frac{xy-1}{2(x^2-y^2)^2}$ 
Mà $(x+y)^2>xy-1$ và $2(x^2-y^2)^2-(x+y)^2>0$ 
Do đó $2(x^2-y^2)^2>xy-1 \Rightarrow a<1$ trái với giả thiết 
Loại bỏ trường hợp này 
Trường hợp 2 : $k=1$ 
$d=m$ suy ra $c=d^2,b=dn$ 
Đẳng thức đã cho viết lại thành $(ad^2+1)^2=(5d+2n)(2d+n)$ 
Mà chú ý là $(5d+2n,2d+n)=(d,n)=1$ 
Do đó  tồn tại $x,y$ nguyên dương và $(x,y)=1$ để  $5d+2n=x^2,2d+n=y^2$ 
Suy ra $d=x^2-2y^2,n=5y^2-2x^2$ nếu $x$ chẵn thì đặt $x=2l$ suy ra $d=4l^2-2y^2,n=5y^2-8l^2$ 
Khi đó $(ad^2+1)^2=4l^2y^2$ hay là $a(4l^2-2y^2)^2+1=2ly$ rõ ràng là không xảy ra vì do hai vế của nó khác tính chẵn lẻ 
Suy ra $x$ lẻ dẫn đến $d$ hay $c$ lẻ suy ra $c$ là số chính phương lẻ 
$c$ là số chính phương có vẻ chưa chặt
 

why