Chủ đề này có 1 trả lời

[linhphammai]

Cho các số thực dương x, y thỏa mãn $(\sqrt{x} + 1)(2\sqrt{y} + 4) + y \geq 13$. Tìm min biểu thức

$P = \frac{x^{4}}{y} + \frac{y^{3}}{x} + y$

[leminhnghiatt]

Cho các số thực dương x, y thỏa mãn $(\sqrt{x} + 1)(2\sqrt{y} + 4) + y \geq 13$. Tìm min biểu thức

$P = \frac{x^{4}}{y} + \frac{y^{3}}{x} + y$

 

$GT \iff (\sqrt{x}+1)(2\sqrt{y}+4)+y \geq 13$

 

$\iff y+2\sqrt{xy}+4\sqrt{x}+2\sqrt{y} \geq 9$

 

$\iff (\sqrt{x}+\sqrt{y}+1)^2 \geq 9+(\sqrt{x}-1)^2 \geq 9$

 

$\rightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y} \geq 2$

 

$\rightarrow x+y \geq \dfrac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{2}=2$

 

Ta có: $\dfrac{x^4}{y}+\dfrac{y^3}{x}+y=(\dfrac{x^4}{y}+y)+(\dfrac{y^3}{x}+xy)-xy$

 

$\geq 2x^2+2y^2-xy \geq (x+y)^2-\dfrac{1}{4}(x+y)^2 = \dfrac{3}{4}(x+y)^2 \geq 3$

 

Vậy $Min=3 \iff x=y=1$