Chủ đề này có 4 trả lời

[phuonganh2003]

$\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{b+c-a}+\frac{ac}{a+c-b}\geq a+b+c$

[Issac Newton of Ngoc Tao]

$\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{b+c-a}+\frac{ac}{a+c-b}\geq a+b+c$

Không mất tính tổng quát giả sử: $a\geq b\geq c> 0$

Có: $BDT\Leftrightarrow \sum \frac{ab}{a+b-c}-\sum c\geq 0\Leftrightarrow \frac{(a-c)(b-c)}{a+b-c}+\frac{(b-a)(c-a)}{b+c-a}+\frac{(c-b)(a-b)}{a+c-b}\geq 0\Leftrightarrow (a-b)(b-c)(a-c)(\frac{1}{(a+b-c)(a-b)}+\frac{1}{(a+c-a)(b-c)}-\frac{1}{(a+c-b)(a-c)})\geq 0(*)$\

Mà: $\frac{1}{(a+c-a)(b-c)}-\frac{1}{(a+c-b)(a-c)}= \frac{(a-b)(a+b-c)}{A}\geq 0\Rightarrow \frac{1}{(a+b-c)(a-b)}+\frac{1}{(a+c-a)(b-c)}-\frac{1}{(a+c-b)(a-c)})> 0\Rightarrow (*)$ đúng.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu = xảy ra khi a=b=c.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Issac Newton of Ngoc Tao: 14-09-2016 - 12:28

[le truong son]

Không mất tính tổng quát giả sử: $a\geq b\geq c> 0$

Có: $BDT\Leftrightarrow \sum \frac{ab}{a+b-c}-\sum c\geq 0\Leftrightarrow \frac{(a-c)(b-c)}{a+b-c}+\frac{(b-a)(c-a)}{b+c-a}+\frac{(c-b)(a-b)}{a+c-b}\geq 0\Leftrightarrow (a-b)(b-c)(c-a)(\frac{1}{(a+b-c)(a-b)}+\frac{1}{(a+c-a)(b-c)}-\frac{1}{(a+c-b)(a-c)})\geq 0(*)$\

Mà: $\frac{1}{(a+c-a)(b-c)}-\frac{1}{(a+c-b)(a-c)}= \frac{(a-b)(a+b-c)}{A}\geq 0\Rightarrow \frac{1}{(a+b-c)(a-b)}+\frac{1}{(a+c-a)(b-c)}-\frac{1}{(a+c-b)(a-c)})> 0\Rightarrow (*)$ đúng.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu = xảy ra khi a=b=c.

$a\geq b\geq c> 0=>(a-b)(b-c)(c-a)\geq 0$   

[leminhnghiatt]

$\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{b+c-a}+\frac{ac}{a+c-b}\geq a+b+c$

 

Đặt $\left\{\begin{matrix} a+b-c=x \\ b+c-a=y \\ a+c-b=z \end{matrix}\right. \rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\dfrac{x+z}{2} \\ b=\dfrac{x+y}{2} \\ c=\dfrac{y+z}{2} \end{matrix}\right. \rightarrow x+y+z=a+b+c$

 

Bđt cần cm tương đương với:

 

$\sum \dfrac{(x+y)(x+z)}{4x} \geq x+y+z$

 

Ta có: $\dfrac{(x+y)(x+z)}{4x}=\dfrac{x^2+xy+xz+yz}{4x}=\dfrac{1}{4}(x+y+z)+\dfrac{yz}{4x}$

 

Thiết lập các đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta có:

 

$\sum \dfrac{(x+y)(x+z)}{4x}=\dfrac{3}{4}(x+y+z)+\dfrac{1}{4}(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y})$

 

Xét $\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y} \geq x+y+z$ (1)

 

Thật vậy $\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x} \geq 2y$ 

 

Cộng các bđt tương tự ta sẽ đc bđt (1)

 

Từ đó $\rightarrow \sum \dfrac{(x+y)(x+z)}{4x} \geq \dfrac{3}{4}(x+y+z)+\dfrac{1}{4}(x+y+z)=x+y+z$  (đ.p.c.m)

[Issac Newton of Ngoc Tao]

$a\geq b\geq c> 0=>(a-b)(b-c)(c-a)\geq 0$   

sorry chỗ đó mình gõ hơi vội là a-c các chỗ còn lại vẫn giữ nguyên như vậy.