1 reply to this topic

[The Flash]

Cho $\triangle ABC$ có $D\in BC,E\in CA,F\in AB$

Chứng minh rằng khi $AD,BE,CF$ đồng quy thì $S_{DEF}\leq \frac{1}{4}S_{ABC}$

[Kalari499]

Đặt $\frac{DB}{BC}=x,\frac{EC}{CA}=y,\frac{FA}{AB}=z$ thì $xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$

Đpcm tương đương với $x+y+z-(xy+yz+zx)\geq \frac{3}{4}$ tương đương với $xyz \leq \frac{1}{8}$ do giả thiết

Phản chứng: $xyz > \frac{1}{8}$ thì $x+y+z > \frac{3}{2}$

Lại có: $(1-x)(1-y)(1-z) > \frac{1}{8}$ thì $(1-x)+(1-y)+(1-z) > \frac{3}{2}$ tức là $x+y+z < \frac{3}{2}$ dẫn tới vô lý

Vậy ta có đpcm

Edited by Kalari499, 14-09-2016 - 11:31.