Cho $x,y,z> 0$ và $x+y+z=1$. Chứng minh:
$\sqrt{\frac{x}{3x+1}}+\sqrt{\frac{y}{3y+1}}+\sqrt{\frac{z}{3z+1}}\leq \sqrt{\frac{3}{2}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 15-09-2016 - 21:10
Cho $x,y,z> 0$ và $x+y+z=1$. Chứng minh:
$\sqrt{\frac{x}{3x+1}}+\sqrt{\frac{y}{3y+1}}+\sqrt{\frac{z}{3z+1}}\leq \sqrt{\frac{3}{2}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 15-09-2016 - 21:10
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
Cho $x,y,z> 0$ và $x+y+z=1$. Chứng minh:
$\sqrt{\frac{x}{3x+1}}+\sqrt{\frac{y}{3y+1}}+\sqrt{\frac{z}{3z+1}}\leq \sqrt{\frac{3}{2}}$
Áp dụng AM-GM ta có:
$\sum \sqrt{\dfrac{x}{3x+1}} \leq \sqrt{3(\sum \dfrac{x}{3x+1})}$
Xét $\dfrac{x}{3x+1} \leq \dfrac{3x+1}{12} \iff (3x-1)^2 \geq 0$ (L.Đ)
$\sqrt{3(\sum \dfrac{x}{3x+1}} \leq \sqrt{3(\dfrac{x+y+z}{4}+\dfrac{1}{4})} =\sqrt{3(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4})}=\sqrt{\dfrac{3}{2}}$ (đ.p.c.m)
Dấu "=" $\iff x=y=z=\dfrac{1}{3}$
Don't care
Bài này cũng có khá nhiều hướng tiếp cận
Ta có thể đánh giá ngay như sau: $\sqrt{\frac{x}{3x+1}}\leq \frac{\sqrt{6}}{8}x+\frac{3}{4\sqrt{6}}$.
$\Leftrightarrow 9x^3+21x^2+15x+3\geq 0\Leftrightarrow (3x-1)^2(2x+3)\geq 0$.
Tương tự ta có đpcm.
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh