2 replies to this topic

[Baoriven]

Cho $x,y,z> 0$ và $x+y+z=1$. Chứng minh:

$\sqrt{\frac{x}{3x+1}}+\sqrt{\frac{y}{3y+1}}+\sqrt{\frac{z}{3z+1}}\leq \sqrt{\frac{3}{2}}$

Edited by Baoriven, 15-09-2016 - 21:10.

[leminhnghiatt]

Cho $x,y,z> 0$ và $x+y+z=1$. Chứng minh:

$\sqrt{\frac{x}{3x+1}}+\sqrt{\frac{y}{3y+1}}+\sqrt{\frac{z}{3z+1}}\leq \sqrt{\frac{3}{2}}$

 

Áp dụng AM-GM ta có:

 

$\sum \sqrt{\dfrac{x}{3x+1}} \leq \sqrt{3(\sum \dfrac{x}{3x+1})}$

 

Xét $\dfrac{x}{3x+1} \leq \dfrac{3x+1}{12} \iff (3x-1)^2 \geq 0$ (L.Đ)

 

$\sqrt{3(\sum \dfrac{x}{3x+1}} \leq \sqrt{3(\dfrac{x+y+z}{4}+\dfrac{1}{4})} =\sqrt{3(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4})}=\sqrt{\dfrac{3}{2}}$ (đ.p.c.m)

 

Dấu "=" $\iff x=y=z=\dfrac{1}{3}$

[Baoriven]

Bài này cũng có khá nhiều hướng tiếp cận

Ta có thể đánh giá ngay như sau: $\sqrt{\frac{x}{3x+1}}\leq \frac{\sqrt{6}}{8}x+\frac{3}{4\sqrt{6}}$.

$\Leftrightarrow 9x^3+21x^2+15x+3\geq 0\Leftrightarrow (3x-1)^2(2x+3)\geq 0$.

Tương tự ta có đpcm.