Giải các phương trình, bất phương trình:
1. $x^2-2(x+1)\sqrt{3x+1}=2\sqrt{2x^2+5x+2}-8x-5$
Lời giải.
Điều kiện xác định: $x\geq -\dfrac{1}{3}$.
$$x^{2}-2\left ( x+1 \right )\sqrt{3x+1}=2\sqrt{2x^{2}+5x+2}-8x-5$$
$$\Leftrightarrow \left ( x+1 \right )^{2}-2\left ( x+1 \right )\sqrt{3x+1}+\left ( 3x+1 \right )+\left ( x+2 \right )-2\sqrt{\left ( x+2 \right )\left ( 2x+1 \right )}+\left ( 2x+1 \right )=0$$
$$\Leftrightarrow \left ( x+1-\sqrt{3x+1} \right )^{2}+\left ( \sqrt{x+2}-\sqrt{2x+1} \right )^{2}=0$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+1=\sqrt{3x+1} \\ \sqrt{x+2}=\sqrt{2x+1} \end{matrix}\right.$$
Giải các phương trình, bất phương trình:
3. $\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}-(x-4)\sqrt{x-7}-3x+28=0$
Đề sai, đúng phải là:
$$\sqrt[3]{x^{2}}-2\sqrt[3]{x}-\left ( x-4 \right )\sqrt{x-7}-3x+28=0$$
Lời giải.
Điều kiện xác định: $x\geq 7$.
$$\sqrt[3]{x^{2}}-2\sqrt[3]{x}-\left ( x-4 \right )\sqrt{x-7}-3x+28=0$$
$$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x^{2}}-2\sqrt[3]{x}+8=\left ( 1+\sqrt{x-7} \right )^{3}$$
$$\Leftrightarrow \sqrt[3]{\sqrt[3]{x^{2}}-2\sqrt[3]{x}+8}=1+\sqrt{x-7}$$
Đặt $\sqrt[3]{x}=t$ thì $x=t^{3}$. Phương trình trở thành:
$$\sqrt[3]{t^{2}-2t+8}=1+\sqrt{t^{3}-7}$$
Điều kiện xác định: $t\geq \sqrt[3]{7}$.
$$\sqrt[3]{t^{2}-2t+8}=1+\sqrt{t^{3}-7}$$
$$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{t^{3}-7}-t+1 \right )+\left ( t-\sqrt[3]{t^{2}-2t+8} \right )=0$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{t^{3}-t^{2}+2t-8}{\sqrt{t^{3}-7}+t-1}+\dfrac{t^{3}-t^{2}+2t-8}{t^{2}+t\sqrt[3]{t^{2}-2t+8}+\sqrt[3]{\left ( t^{2}-2t+8 \right )^{2}}}=0$$
$$\Leftrightarrow \left ( t^{3}-t^{2}+2t-8 \right )\left [ \dfrac{1}{\sqrt{t^{3}-7}+t-1}+\dfrac{1}{t^{2}+t\sqrt[3]{t^{2}-2t+8}+\sqrt[3]{\left ( t^{2}-2t+8 \right )^{2}}} \right ]=0$$
Vì $t\geq \sqrt[3]{7}$ nên ta được:
$$t^{3}-t^{2}+2t-8=0$$
Giải các phương trình, bất phương trình:
4. $x=(2004+\sqrt{x})(1-\sqrt{1-\sqrt{x}})^{2}$
Lời giải.
Điều kiện xác định: $0\leq x\leq 1$.
$$x=\left ( 2004+\sqrt{x} \right )\left ( 1-\sqrt{1-\sqrt{x}} \right )^{2}$$
$$\Leftrightarrow x=\left ( 2004+\sqrt{x} \right )\dfrac{x}{\left ( 1+\sqrt{1-\sqrt{x}} \right )^{2}}$$
$$\Leftrightarrow x\left ( -2002-2\sqrt{x}+2\sqrt{1-\sqrt{x}} \right )=0$$
Vì $-2002-2\sqrt{x}+2\sqrt{1-\sqrt{x}}\leq -2002+2.0+2=-2000<0$ nên ta được $x=0$ (thỏa mãn điều kiện).
Giải các phương trình, bất phương trình:
7. $(3-x)\sqrt{x-1}+\sqrt{5+2x}=\sqrt{40-34x+10x^2-x^3}$
Đề sai, đúng phải là:
$$\left ( 3-x \right )\sqrt{x-1}+\sqrt{5-2x}=\sqrt{40-34x+10x^{2}-x^{3}}$$
Lời giải.
Điều kiện xác định: $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-1\geq 0 \\ 2x-5\geq 0 \\ 40-34x+10x^{2}-x^{3}\geq 0 \end{matrix}\right.$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
$$\left ( 3-x \right )\sqrt{x-1}+\sqrt{5-2x}\leq \sqrt{\left ( 3-x \right )^{2}+1}\sqrt{x-1+5-2x}=\sqrt{40-34x+10x^{2}-x^{3}}$$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
$$3-x=\sqrt{\dfrac{x-1}{5-2x}}$$
----
Câu 2 xem trong đề đề nghị olympic 30/4/2007 hay 2008 gì đấy.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 17-09-2016 - 21:18
