Cho $x,y,z> 0$ thỏa $xyz=1$. Tìm GTNN của:
$P=\frac{x^2(y+z)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2(z+x)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2(x+y)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}$
MIN: $P=\sum \frac{x^2(y+z)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}$
Bắt đầu bởi Baoriven, 17-09-2016 - 22:19
#1
Đã gửi 17-09-2016 - 22:19
Baoriven
-
- Điều hành viên OLYMPIC
-
- 1424 Bài viết
Thượng úy
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
#2
Đã gửi 17-09-2016 - 22:33
L Lawliet
-
- Thành viên
-
- 1624 Bài viết
Tiểu Linh
Cho $x,y,z> 0$ thỏa $xyz=1$. Tìm GTNN của:
$P=\frac{x^2(y+z)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2(z+x)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2(x+y)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}$
Lời giải.
Ta có:
$$\dfrac{x^{2}\left ( y+z \right )}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\dfrac{y^{2}\left ( z+x \right )}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\dfrac{z^{2}\left ( x+y \right )}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\geq \dfrac{2x^{2}\sqrt{\frac{1}{x}}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\dfrac{2y^{2}\sqrt{\frac{1}{y}}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\dfrac{2z^{2}\sqrt{\frac{1}{z}}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}$$
Đặt $x\sqrt{x}=a>0$, $y\sqrt{y}=b>0$, $z\sqrt{z}=c>0$. Khi đó $P$ ta có:
$$\dfrac{2a}{b+2c}+\dfrac{2b}{c+2a}+\dfrac{2c}{a+2b}=2\left ( \dfrac{a^{2}}{ab+2ca}+\dfrac{b^{2}}{bc+2ab}+\dfrac{c^{2}}{ca+2bc} \right )\geq \dfrac{2\left ( a+b+c \right )^{2}}{3\left ( ab+bc+ca \right )}\geq 2$$
Vậy $\min P=2$, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$.
- leminhnghiatt yêu thích
Thích ngủ.
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
