Cho $n$ là số nguyên dương. Tập con $S$ của tập $X=\left \{ 1,2,..,n \right \}$ được gọi là "tốt" nếu trung bình cộng của các phần tử thuộc $S$ là một só nguyên. Gọi $T_n$ là số tập con "tốt của $X$. Chứng minh $T_n-n$ chẵn.
Chứng minh $T_n-n$ chẵn
#1
Đã gửi 18-09-2016 - 22:48
Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)
Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56
#2
Đã gửi 18-09-2016 - 23:37
Cho $n$ là số nguyên dương. Tập con $S$ của tập $X=\left \{ 1,2,..,n \right \}$ được gọi là "tốt" nếu trung bình cộng của các phần tử thuộc $S$ là một só nguyên. Gọi $T_n$ là số tập con "tốt của $X$. Chứng minh $T_n-n$ chẵn.
Bài toán quen thuộc sử dụng phương pháp song ánh
Ta bỏ đi $n$ tập con có $1$ phần tử của $T_n$
$T_n-n$ tập "tốt" còn lại chia vào $2$ loại: Tập đó chứa trung bình cộng các phần tử của nó hoặc Tập đó không chứa trung bình cộng các phần tử của nó
Giờ xét tập con của $S=\{a_1,a_2,...,a_k\}$ trong đó trung bình cộng của các phần tử của nó là $a_k$. Khi đó $S \setminus \{a_k\}$ cũng là một tập "tốt" và nó không chứa trung bình cộng các phần tử của nó. Dễ thấy phép biến đổi này là một đơn ánh
Tương tự nếu $S=\{a_1,...,a_k\}$ có trung bình cộng các phần tử của $S$ là $b$ và $b \neq a_i$. Dễ thấy $k<n$ vì $\dfrac{1+2+...+n}{n}$ nếu là số nguyên thì nó cũng nằm trong $X$. Do đó nếu xét $S'$ là hợp của $S$ với $b$ thì $S'$ là một tập con của $X$ và dễ thấy đây cũng là một đơn ánh
Vậy tồn tại một song ánh đi từ $2$ loại tập tốt này vào nhau. Do đó số lượng tập tốt ở mỗi loại này bằng nhau
Do đó $T_n -n \vdots 2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 18-09-2016 - 23:39
- Element hero Neos và duylax2412 thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh