Chủ đề này có 1 trả lời

[hoakute]

Bài 1 : Trong mặt phẳng cho 2015 điểm. Mỗi điểm là tâm một đường tròn đi qua một điểm cố định O. Cmr từ những hình tròn tạo ra có thể chọn được 5 hình tròn mà chúng phủ tất cả 2015 điểm
Bài 2: Cmr mọi tam giác có chu vi là 12cm và diện tích 6cm2 thì có thể chia thành 100 tam giác nhỏ mà mỗi tam giác nhỏ đó có chu vi lớn hơn 6cm và có ít nhất một trong chúng đặt được vào bên trong một hình chữ nhật chiều dài 6cm chiều rộng 0,06 cm

[L Lawliet]

Bài 1 : Trong mặt phẳng cho 2015 điểm. Mỗi điểm là tâm một đường tròn đi qua một điểm cố định O. Cmr từ những hình tròn tạo ra có thể chọn được 5 hình tròn mà chúng phủ tất cả 2015 điểm

Lời giải.

Gọi $2015$ điểm trên mặt phẳng lần lượt là $A_{1}$, $A_{2}$,..., $A_{2015}$.

Vẽ các đường tròn tâm $O$ bán kính lần lượt là $OA_{1}$, $OA_{2}$,..., $OA_{2015}$.

Ta gọi điểm $A_{i}$ gần điểm $O$ hơn $A_{j}$ nếu $OA_{i}<OA_{j}$.

Gọi $A_{1}$ là điểm gần $O$ nhất thì ta có nhiều nhất $2015$ đường tròn tâm $O$.

Vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau tại $O$ thì hai đường thẳng đó sẽ chia mặt phẳng làm $4$ phần.

Từ $4$ phần trên ở mỗi phần ta chọn điểm xa $O$ nhất ở từng phần rồi từ $4$ điểm ấy ta vẽ đường tròn theo yêu cầu đề bài thì $4$ đường tròn ấy sẽ phủ kín toàn bộ $2015$ điểm trên hoặc sẽ phủ hầu hết các điểm và vẫn còn một vài điểm chưa được phủ. Tuy nhiên, các điểm chưa được phủ sẽ nằm trong vùng cắt của ba đường tròn. Khi đó từ một trong các điểm đó ta có thể vẽ một đường tròn bao phủ $2015$ điểm còn lại.

 

Bài 2: Cmr mọi tam giác có chu vi là 12cm và diện tích 6cm2 thì có thể chia thành 100 tam giác nhỏ mà mỗi tam giác nhỏ đó có chu vi lớn hơn 6cm và có ít nhất một trong chúng đặt được vào bên trong một hình chữ nhật chiều dài 6cm chiều rộng 0,06 cm

Lời giải.

Vì tam giác có chu vi là $12\text{cm}$ nên gọi $AB$ là cạnh nhỏ nhất thì $AB\leq \dfrac{12}{3}=4\text{cm}$.

Gọi $CH$ là chiều cao tương ứng với cạnh $AB$ ($H\in AB$) thì $CH\geq \dfrac{6.2}{4}=3\text{cm}$.

Ta chia đoạn thằng $AB$ thành $100$ phần bằng nhau thì khi đó mỗi tam giác nhỏ (tạo thành từ các điểm trên đoạn $AB$ với $C$) có chu vi lớn hơn hoặc bằng $2CH$ hay chu vi lớn hơn hoặc bằng $6\text{cm}$.