Cho các số thực $a, b, c > 0$ thỏa mãn $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Chứng minh rằng $a+b+c\geqslant \frac{3}{abc}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trungdung19122002: 19-09-2016 - 17:41
Cho các số thực $a, b, c > 0$ thỏa mãn $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Chứng minh rằng $a+b+c\geqslant \frac{3}{abc}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trungdung19122002: 19-09-2016 - 17:41
Cho các số thực $a, b, c > 0$ thỏa mãn $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Chứng minh rằng $a+b+c\geqslant \frac{3}{abc}$
Lời giải.
Biến đổi giả thuyết:
$$a+b+c\geq \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$$
Thích ngủ.
Từ giả thiết ta có:
$a+b+c\ge \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\Rightarrow\dfrac{1}{abc}\le\dfrac{a+b+c}{ab+bc+ac}$
Do đó BĐT được chứng minh nếu ta chứng minh được:
$a+b+c\ge\dfrac{3(a+b+c)}{ab+bc+ac}\Leftrightarrow ab+bc+ac\ge 3$(*)
Ta có $(ab+bc+ac)^2\ge 3abc(a+b+c)$,
Theo giả thiết $abc(a+b+c)\ge ab+bc+ac\Rightarrow (ab+b+ac)^2\ge 3(ab+bc+ac)\Rightarrow ab+bc+ac\ge 3$
Do đó (*) đúng. Vậy Bất đẳng thức được chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanguyen445: 20-09-2016 - 16:06
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh