Trường hợp còn lại, $a\geqslant c\geqslant b$ thì suy ra $\left\{ \begin{array}{l} a^4\geqslant c^4\geqslant b^4 \\ a^3+c^3\geqslant b^3+a^3 \geqslant c^3+b^3 \end{array} \right.$.
Áp dụng bất đẳng thức hoán vị, ta có $\dfrac{a^4}{b^3+a^3}+\dfrac{c^4}{a^3+c^3}+\dfrac{b^4}{c^3+b^3}\geqslant \dfrac{a^4}{c^3+b^3}+\dfrac{c^4}{b^3+a^3}+\dfrac{b^4}{a^3+c^3}$
Khi đó, ta cần chứng minh $\dfrac{a^4}{b^3+c^3}+\dfrac{c^4}{a^3+b^3}+\dfrac{b^4}{c^3+a^3}\geqslant \dfrac{a+b+c}{2}$.
Viết lại bất đẳng thức đã cho dưới dạng
\[a \left( \dfrac{a^3}{c^3+b^3}-\dfrac{1}{2} \right)+c \left( \dfrac{c^3}{b^3+a^3}-\dfrac{1}{2} \right)+b \left( \dfrac{b^3}{a^3+c^3}-\dfrac{1}{2} \right) \geqslant 0 \]
hay là
\begin{align} \left(a-c\right)\left( \dfrac{a^3}{c^3+b^3}-\dfrac{1}{2} \right)+\left(c-b\right)\left[\left( \dfrac{a^3}{c^3+b^3}-\dfrac{1}{2} \right) + \left( \dfrac{c^3}{b^3+a^3}-\dfrac{1}{2} \right)\right]+ \nonumber\\ \label{eq:1} \hspace{4cm}+b\left[\left( \dfrac{a^3}{c^3+b^3}-\dfrac{1}{2} \right) + \left( \dfrac{c^3}{b^3+a^3}-\dfrac{1}{2} \right) + \left( \dfrac{b^3}{a^3+c^3}-\dfrac{1}{2} \right) \right]\geqslant 0 \end{align}
Hiển nhiên ta có:
\[\dfrac{a^3}{c^3+b^3}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2a^3-c^3-b^3}{2(c^3+b^3)}=\dfrac{\left(a^3-c^3\right)+\left(a^3-b^3\right)}{2(c^3+b^3)}\geqslant 0\]
Cũng để ý rằng:
\begin{align*} &\hphantom{=} \left( \dfrac{a^3}{c^3+b^3}-\dfrac{1}{2} \right) + \left( \dfrac{c^3}{b^3+a^3}-\dfrac{1}{2} \right) \\ &= \dfrac{(a^3-c^3)+(a^3-b^3)}{2(c^3+b^3)} +\dfrac{(c^3-b^3)+(c^3-a^3)}{2(b^3+a^3)} \\ &= \dfrac{a^3-b^3}{2(c^3+b^3)}+\dfrac{c^3-b^3}{2(b^3+a^3)}+\left[\dfrac{a^3-c^3}{2(c^3+b^3)} +\dfrac{c^3-a^3}{2(b^3+a^3)}\right] \\ &= \dfrac{a^3-b^3}{2(c^3+b^3)}+\dfrac{c^3-b^3}{2(c^3+a^3)}+\dfrac{(a^3-c^3)\left[(b^3+a^3)- (c^3+b^3)\right]}{2(c^3+b^3)(b^3+a^3)} \\ &= \dfrac{a^3-b^3}{2(c^3+b^3)}+\dfrac{c^3-b^3}{2(b^3+a^3)}+\dfrac{\left(a^3- c^3\right)^2}{2(c^3+b^3)(b^3+a^3)} \end{align*}
Vậy $\left( \dfrac{a^3}{c^3+b^3}-\dfrac{1}{2} \right) + \left( \dfrac{c^3}{b^3+a^3}-\dfrac{1}{2} \right)\geqslant 0$
Theo bất đẳng thức Nesbitt, $\sum \dfrac{a^3}{c^3+b^3}\geqslant \dfrac{3}{2} \iff \left( \dfrac{a^3}{c^3+b^3}-\dfrac{1}{2} \right) + \left( \dfrac{c^3}{b^3+a^3}-\dfrac{1}{2} \right) + \left( \dfrac{b^3}{a^3+c^3}-\dfrac{1}{2} \right)\geqslant 0$
Tóm lại, \eqref{eq:1} đã được chứng minh.
Bài toán chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huykinhcan99: 20-09-2016 - 13:26