Chủ đề này có 9 trả lời

[nguen123]

Cho a,b,c dương, Chứng minh rằng : $\sum{\frac{{{a}^{4}}}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}}\ge \frac{a+b+c}{2}$

Đây là một bất đẳng thức hay và khó gây sốt các diễn đàn toán trong nước và quốc tế , Bạn V.Q.B.Cẩn đã giải bài này , tuy nhiên các bạn có lời giải nào hay hơn không .xin các bạn ra tay. và cho bài toán tổng quát sau :

$$\frac{{{a}^{k}}}{{{a}^{k-1}}+{{b}^{k-1}}}+\frac{{{b}^{k}}}{{{b}^{k-1}}+{{c}^{k-1}}}+\frac{{{c}^{k}}}{{{c}^{k-1}}+{{a}^{k-1}}}\ge \frac{a+b+c}{2}(k\in {{N}^{*}})$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguen123: 19-09-2016 - 20:58

[huykinhcan99]

Không giảm tổng quát, giả sử $a= \max\left\{a,b,c\right\}$.

 

Nếu $a\geqslant b\geqslant c$ thì ta có:
\begin{align*} &\phantom{\iff~} \dfrac{a^4}{a^3+b^3}+\dfrac{b^4}{b^3+c^3}+\dfrac{c^4}{c^3+a^3}\geqslant \dfrac{a+b+c}{2} \\&\iff a\left(\dfrac{a^3}{a^3+b^3}-\dfrac{1}{2} \right)+b\left(\dfrac{b^3}{b^3+c^3}-\dfrac{1}{2} \right)+c\left(\dfrac{c^3}{c^3+a^3}-\dfrac{1}{2} \right)\geqslant 0 \end{align*}
 
Đặt $m=\dfrac{a^3}{a^3+b^3}-\dfrac{1}{2}$, $n=\dfrac{b^3}{b^3+c^3}-\dfrac{1}{2}$, $p=\dfrac{c^3}{c^3+a^3}-\dfrac{1}{2}$.
Ta có khai triển $Abel$: $am+bn+cp=(a-b)m+(b-c)(m+n)+c(m+n+p)$. Chú ý rằng khi đó, do $a-b\geqslant 0$, $b-c\geqslant 0$ và $c>0$ nên ta sẽ đi chứng minh các bất đẳng thức sau:

• $m\geqslant 0 \iff \dfrac{a^3}{a^3+b^3}-\dfrac{1}{2}\geqslant 0 \iff \dfrac{a^3-b^3}{2\left(a^3+b^3\right)}\geqslant 0$ (luôn đúng)
• $m+n\geqslant 0 \iff \left(\dfrac{a^3}{a^3+b^3}-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{b^3}{b^3+c^3}-\dfrac{1}{2}\right)\geqslant 0 \iff \dfrac{a^3-b^3}{2\left(a^3+b^3\right)}+\dfrac{b^3-c^3}{2\left(b^3+c^3\right)}\geqslant 0$ (luôn đúng)
• $m+n+p\geqslant 0 \iff \left(\dfrac{a^3}{a^3+b^3}-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{b^3}{b^3+c^3}-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{c^3}{c^3+a^3}-\dfrac{1}{2}\right)\geqslant 0$
  $$\iff \dfrac{a^3-b^3}{2\left(a^3+b^3\right)}+\dfrac{b^3-c^3}{2\left(b^3+c^3\right)}+\dfrac{c^3-a^3}{2\left(c^3+a^3\right)}\geqslant 0$$
  Chú ý rằng
  \begin{align*} \dfrac{a^3-b^3}{2\left(a^3+b^3\right)}+\dfrac{b^3-c^3}{2\left(b^3+c^3\right)}+\dfrac{c^3-a^3}{2\left(c^3+a^3\right)} &= \dfrac{a^3-b^3}{2\left(a^3+b^3\right)}+\dfrac{b^3-c^3}{2\left(b^3+c^3\right)}-\dfrac{a^3-b^3}{2\left(c^3+a^3\right)}-\dfrac{b^3-c^3}{2\left(c^3+a^3\right)} \\ &= \left(a^3-b^3\right)\left[\dfrac{1}{2\left(a^3+b^3\right)}-\dfrac{1}{2\left(c^3+a^3\right)}\right] + \left(b^3-c^3\right)\left[\dfrac{1}{2\left(b^3+c^3\right)}-\dfrac{1}{2\left(c^3+a^3\right)}\right]\\ &= \dfrac{\left(a^3-b^3\right)\left(c^3-b^3\right)}{2\left(a^3+b^3\right)\left(c^3+a^3\right)}+ \dfrac{\left(b^3-c^3\right)\left(a^3-b^3\right)}{2\left(b^3+c^3\right)\left(c^3+a^3\right)} \\ &= \dfrac{\left(a^3-b^3\right)\left(b^3-c^3\right)}{2\left(c^3+a^3\right)} \left(\dfrac{1}{b^3+c^3}-\dfrac{1}{a^3+b^3}\right) \\ &=\dfrac{\left(a^3-b^3\right)\left(b^3-c^3\right)\left(a^3-c^3\right)}{2\left(a^3+b^3\right)\left(b^3+c^3\right)\left(a^3+c^3\right)} \geqslant 0\end{align*}
  Vậy $m+n+p\geqslant 0$.

Vậy bất đẳng thức đã cho là đúng và ta có điều phải chứng minh với $a\geqslant b \geqslant c >0$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huykinhcan99: 20-09-2016 - 12:30

[nguen123]

Không giảm tổng quát, giả sử $a= \max\left\{a,b,c\right\}$.

 

Nếu $a\geqslant b\geqslant c$ thì ta có:
\begin{align*} &\phantom{\iff~} \dfrac{a^4}{a^3+b^3}+\dfrac{b^4}{b^3+c^3}+\dfrac{c^4}{c^3+a^3}\geqslant \dfrac{a+b+c}{2} \\&\iff a\left(\dfrac{a^3}{a^3+b^3}-\dfrac{1}{2} \right)+b\left(\dfrac{b^3}{b^3+c^3}-\dfrac{1}{2} \right)+c\left(\dfrac{c^3}{c^3+a^3}-\dfrac{1}{2} \right)\geqslant 0 \end{align*}
 
Đặt $m=\dfrac{a^3}{a^3+b^3}-\dfrac{1}{2}$, $n=\dfrac{b^3}{b^3+c^3}-\dfrac{1}{2}$, $p=\dfrac{c^3}{c^3+a^3}-\dfrac{1}{2}$.
Ta có khai triển $Abel$: $am+bn+cp=(a-b)m+(b-c)(m+n)+c(m+n+p)$. Chú ý rằng khi đó, do $a-b\geqslant 0$, $b-c\geqslant 0$ và $c>0$ nên ta sẽ đi chứng minh các bất đẳng thức sau:

• $m\geqslant 0 \iff \dfrac{a^3}{a^3+b^3}-\dfrac{1}{2}\geqslant 0 \iff \dfrac{a^3-b^3}{2\left(a^3+b^3\right)}\geqslant 0$ (luôn đúng)
• $m+n\geqslant 0 \iff \left(\dfrac{a^3}{a^3+b^3}-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{b^3}{b^3+c^3}-\dfrac{1}{2}\right)\geqslant 0 \iff \dfrac{a^3-b^3}{2\left(a^3+b^3\right)}+\dfrac{b^3-c^3}{2\left(b^3+c^3\right)}\geqslant 0$ (luôn đúng)
• $m+n+p\geqslant 0 \iff \left(\dfrac{a^3}{a^3+b^3}-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{b^3}{b^3+c^3}-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{c^3}{c^3+a^3}-\dfrac{1}{2}\right)\geqslant 0$
  $$\iff \dfrac{a^3-b^3}{2\left(a^3+b^3\right)}+\dfrac{b^3-c^3}{2\left(b^3+c^3\right)}+\dfrac{c^3-a^3}{2\left(c^3+a^3\right)}\geqslant 0$$
  Chú ý rằng
  \begin{align*} \dfrac{a^3-b^3}{2\left(a^3+b^3\right)}+\dfrac{b^3-c^3}{2\left(b^3+c^3\right)}+\dfrac{c^3-a^3}{2\left(c^3+a^3\right)} &= \dfrac{a^3-b^3}{2\left(a^3+b^3\right)}+\dfrac{b^3-c^3}{2\left(b^3+c^3\right)}-\dfrac{a^3-b^3}{2\left(c^3+a^3\right)}-\dfrac{b^3-c^3}{2\left(c^3+a^3\right)} \\ &= \left(a^3-b^3\right)\left[\dfrac{1}{2\left(a^3+b^3\right)}-\dfrac{1}{2\left(c^3+a^3\right)}\right] + \left(b^3-c^3\right)\left[\dfrac{1}{2\left(b^3+c^3\right)}-\dfrac{1}{2\left(c^3+a^3\right)}\right]\\ &= \dfrac{\left(a^3-b^3\right)\left(c^3-b^3\right)}{2\left(a^3+b^3\right)\left(c^3+a^3\right)}+ \dfrac{\left(b^3-c^3\right)\left(a^3-b^3\right)}{2\left(b^3+c^3\right)\left(c^3+a^3\right)} \\ &= \dfrac{\left(a^3-b^3\right)\left(b^3-c^3\right)}{2\left(c^3+a^3\right)} \left(\dfrac{1}{b^3+c^3}-\dfrac{1}{a^3+b^3}\right) \\ &=\dfrac{\left(a^3-b^3\right)\left(b^3-c^3\right)\left(a^3-c^3\right)}{2\left(a^3+b^3\right)\left(b^3+c^3\right)\left(a^3+c^3\right)} \geqslant 0\end{align*}
  Vậy $m+n+p\geqslant 0$.

Vậy bất đẳng thức đã cho là đúng và ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.

 

Trường hợp còn lại, $a\geqslant c\geqslant b$ thì

Ta có khai triển $Abel$: $am+bn+cp=(a-c)m+(c-b)(m+p)+b(m+n+p)$. Chú ý rằng khi đó, do $a-c\geqslant 0$, $c-b\geqslant 0$ và $b>0$ nên ta sẽ đi chứng minh các bất đẳng thức sau:

• $m\geqslant 0 \iff \dfrac{a^3-b^3}{2\left(a^3+b^3\right)}\geqslant 0$ (luôn đúng)

To be continued... Sorry vì mình quên mất trường hợp $a\geqslant c\geqslant b$...

mình thích ý tưởng của bạn nhưng bạn còn sót vấn đề như bạn nói mà bạn đã chưa giải quyết cùng như giải quyết bài toán tổng quát

[huykinhcan99]

Trường hợp còn lại, $a\geqslant c\geqslant b$ thì suy ra $\left\{ \begin{array}{l} a^4\geqslant c^4\geqslant b^4 \\ a^3+c^3\geqslant b^3+a^3 \geqslant c^3+b^3 \end{array} \right.$.

 

Áp dụng bất đẳng thức hoán vị, ta có $\dfrac{a^4}{b^3+a^3}+\dfrac{c^4}{a^3+c^3}+\dfrac{b^4}{c^3+b^3}\geqslant \dfrac{a^4}{c^3+b^3}+\dfrac{c^4}{b^3+a^3}+\dfrac{b^4}{a^3+c^3}$

 

Khi đó, ta cần chứng minh $\dfrac{a^4}{b^3+c^3}+\dfrac{c^4}{a^3+b^3}+\dfrac{b^4}{c^3+a^3}\geqslant \dfrac{a+b+c}{2}$.

 

Viết lại bất đẳng thức đã cho dưới dạng

\[a \left( \dfrac{a^3}{c^3+b^3}-\dfrac{1}{2} \right)+c \left( \dfrac{c^3}{b^3+a^3}-\dfrac{1}{2} \right)+b \left( \dfrac{b^3}{a^3+c^3}-\dfrac{1}{2} \right) \geqslant 0 \]

hay là 

\begin{align} \left(a-c\right)\left( \dfrac{a^3}{c^3+b^3}-\dfrac{1}{2} \right)+\left(c-b\right)\left[\left( \dfrac{a^3}{c^3+b^3}-\dfrac{1}{2} \right) + \left( \dfrac{c^3}{b^3+a^3}-\dfrac{1}{2} \right)\right]+ \nonumber\\  \label{eq:1} \hspace{4cm}+b\left[\left( \dfrac{a^3}{c^3+b^3}-\dfrac{1}{2} \right) + \left( \dfrac{c^3}{b^3+a^3}-\dfrac{1}{2} \right) + \left( \dfrac{b^3}{a^3+c^3}-\dfrac{1}{2} \right) \right]\geqslant 0 \end{align}

 

Hiển nhiên ta có:

\[\dfrac{a^3}{c^3+b^3}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2a^3-c^3-b^3}{2(c^3+b^3)}=\dfrac{\left(a^3-c^3\right)+\left(a^3-b^3\right)}{2(c^3+b^3)}\geqslant 0\]

 

Cũng để ý rằng:

\begin{align*} &\hphantom{=} \left( \dfrac{a^3}{c^3+b^3}-\dfrac{1}{2} \right) + \left( \dfrac{c^3}{b^3+a^3}-\dfrac{1}{2} \right) \\ &= \dfrac{(a^3-c^3)+(a^3-b^3)}{2(c^3+b^3)} +\dfrac{(c^3-b^3)+(c^3-a^3)}{2(b^3+a^3)} \\ &= \dfrac{a^3-b^3}{2(c^3+b^3)}+\dfrac{c^3-b^3}{2(b^3+a^3)}+\left[\dfrac{a^3-c^3}{2(c^3+b^3)} +\dfrac{c^3-a^3}{2(b^3+a^3)}\right] \\ &= \dfrac{a^3-b^3}{2(c^3+b^3)}+\dfrac{c^3-b^3}{2(c^3+a^3)}+\dfrac{(a^3-c^3)\left[(b^3+a^3)- (c^3+b^3)\right]}{2(c^3+b^3)(b^3+a^3)} \\ &= \dfrac{a^3-b^3}{2(c^3+b^3)}+\dfrac{c^3-b^3}{2(b^3+a^3)}+\dfrac{\left(a^3- c^3\right)^2}{2(c^3+b^3)(b^3+a^3)} \end{align*}

 

Vậy $\left( \dfrac{a^3}{c^3+b^3}-\dfrac{1}{2} \right) + \left( \dfrac{c^3}{b^3+a^3}-\dfrac{1}{2} \right)\geqslant 0$

 

Theo bất đẳng thức Nesbitt, $\sum \dfrac{a^3}{c^3+b^3}\geqslant \dfrac{3}{2} \iff \left( \dfrac{a^3}{c^3+b^3}-\dfrac{1}{2} \right) + \left( \dfrac{c^3}{b^3+a^3}-\dfrac{1}{2} \right) + \left( \dfrac{b^3}{a^3+c^3}-\dfrac{1}{2} \right)\geqslant 0$

 

Tóm lại, \eqref{eq:1} đã được chứng minh.

 

Bài toán chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huykinhcan99: 20-09-2016 - 13:26

[nguen123]

 

Trường hợp còn lại, $a\geqslant c\geqslant b$ thì suy ra $\left\{ \begin{array}{l} a^4\geqslant c^4\geqslant b^4 \\ a^3+c^3\geqslant b^3+a^3 \geqslant c^3+b^3 \end{array} \right.$.

 

Áp dụng bất đẳng thức hoán vị, ta có $\dfrac{a^4}{b^3+a^3}+\dfrac{c^4}{a^3+c^3}+\dfrac{b^4}{c^3+b^3}\geqslant \dfrac{a^4}{c^3+b^3}+\dfrac{c^4}{b^3+a^3}+\dfrac{b^4}{a^3+c^3}$

 

Khi đó, ta cần chứng minh $\dfrac{a^4}{b^3+c^3}+\dfrac{c^4}{a^3+b^3}+\dfrac{b^4}{c^3+a^3}\geqslant \dfrac{a+b+c}{2}$.

 

Viết lại bất đẳng thức đã cho dưới dạng

\[a \left( \dfrac{a^3}{c^3+b^3}-\dfrac{1}{2} \right)+c \left( \dfrac{c^3}{b^3+a^3}-\dfrac{1}{2} \right)+b \left( \dfrac{b^3}{a^3+c^3}-\dfrac{1}{2} \right) \geqslant 0 \]

hay là 

\begin{align} \left(a-c\right)\left( \dfrac{a^3}{c^3+b^3}-\dfrac{1}{2} \right)+\left(c-b\right)\left[\left( \dfrac{a^3}{c^3+b^3}-\dfrac{1}{2} \right) + \left( \dfrac{c^3}{b^3+a^3}-\dfrac{1}{2} \right)\right]+ \nonumber\\  \label{eq:1} \hspace{4cm}+b\left[\left( \dfrac{a^3}{c^3+b^3}-\dfrac{1}{2} \right) + \left( \dfrac{c^3}{b^3+a^3}-\dfrac{1}{2} \right) + \left( \dfrac{b^3}{a^3+c^3}-\dfrac{1}{2} \right) \right]\geqslant 0 \end{align}

 

Hiển nhiên ta có:

\[\dfrac{a^3}{c^3+b^3}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2a^3-c^3-b^3}{2(c^3+b^3)}=\dfrac{\left(a^3-c^3\right)+\left(a^3-b^3\right)}{2(c^3+b^3)}\geqslant 0\]

 

Cũng để ý rằng:

\begin{align*} &\hphantom{=} \left( \dfrac{a^3}{c^3+b^3}-\dfrac{1}{2} \right) + \left( \dfrac{c^3}{b^3+a^3}-\dfrac{1}{2} \right) \\ &= \dfrac{(a^3-c^3)+(a^3-b^3)}{2(c^3+b^3)} +\dfrac{(c^3-b^3)+(c^3-a^3)}{2(b^3+a^3)} \\ &= \dfrac{a^3-b^3}{2(c^3+b^3)}+\dfrac{c^3-b^3}{2(b^3+a^3)}+\left[\dfrac{a^3-c^3}{2(c^3+b^3)} +\dfrac{c^3-a^3}{2(b^3+a^3)}\right] \\ &= \dfrac{a^3-b^3}{2(c^3+b^3)}+\dfrac{c^3-b^3}{2(c^3+a^3)}+\dfrac{(a^3-c^3)\left[(b^3+a^3)- (c^3+b^3)\right]}{2(c^3+b^3)(b^3+a^3)} \\ &= \dfrac{a^3-b^3}{2(c^3+b^3)}+\dfrac{c^3-b^3}{2(b^3+a^3)}+\dfrac{\left(a^3- c^3\right)^2}{2(c^3+b^3)(b^3+a^3)} \end{align*}

 

Vậy $\left( \dfrac{a^3}{c^3+b^3}-\dfrac{1}{2} \right) + \left( \dfrac{c^3}{b^3+a^3}-\dfrac{1}{2} \right)\geqslant 0$

 

Theo bất đẳng thức Nesbitt, $\sum \dfrac{a^3}{c^3+b^3}\geqslant \dfrac{3}{2} \iff \left( \dfrac{a^3}{c^3+b^3}-\dfrac{1}{2} \right) + \left( \dfrac{c^3}{b^3+a^3}-\dfrac{1}{2} \right) + \left( \dfrac{b^3}{a^3+c^3}-\dfrac{1}{2} \right)\geqslant 0$

 

Tóm lại, \eqref{eq:1} đã được chứng minh.

 

Bài toán chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.

 

Bạn xem lại $\dfrac{a^4}{b^3+a^3}+\dfrac{c^4}{a^3+c^3}+\dfrac{b^4}{c^3+b^3}\geqslant \dfrac{a^4}{c^3+b^3}+\dfrac{c^4}{b^3+a^3}+\dfrac{b^4}{a^3+c^3}$ không đúng khi a=3,c=2,b=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguen123: 20-09-2016 - 18:05

[huykinhcan99]

Bạn xem lại $\dfrac{a^4}{b^3+a^3}+\dfrac{c^4}{a^3+c^3}+\dfrac{b^4}{c^3+b^3}\geqslant \dfrac{a^4}{c^3+b^3}+\dfrac{c^4}{b^3+a^3}+\dfrac{b^4}{a^3+c^3}$ không đúng khi a=3,c=2,b=1

 

Mình sai... bất đẳng thức này bị ngược chiều... Liệu có cách nào cho trường hợp này không nhỉ?

[nguen123]

và đây là lời giải của mình.

Ta có :

\[\sum{\frac{{{a}^{4}}}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}}+\sum{\frac{{{b}^{4}}}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}}=\sum{\frac{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}}\ge \sum{\frac{a+b}{2}}=\sum{a}\]

$\Rightarrow \sum{\frac{{{a}^{4}}}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}}\ge \frac{\sum{a}}{2}$  (1)       

hay  $\sum{\frac{{{b}^{4}}}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}}\ge \frac{\sum{a}}{2}$  (2)

Nếu là (1) thì OK  , còn nếu là (2) đổi vai trò a, b ta lại có (1)  .Vậy BĐT xem như chứng minh xong.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguen123: 26-09-2016 - 22:17

[nguen123]

 

\[\sum{\frac{{{a}^{4}}}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}}+\sum{\frac{{{b}^{4}}}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}}=\sum{\frac{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}}\ge \sum{\frac{a+b}{2}}=\sum{a}\]

$\Rightarrow \sum{\frac{{{a}^{4}}}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}}\ge \frac{\sum{a}}{2}$  (1)       

hay  $\sum{\frac{{{b}^{4}}}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}}\ge \frac{\sum{a}}{2}$  (2)

Nếu là (1) thì OK  , còn nếu là (2) đổi vai trò a, b ta lại có (1)  .

Thực ra việc thay đổi vai trò a và b là không đúng vì biểu thức không có tính chất đối xứng 3 biến 

Và còn một vấn đề nữa là :

Bất đẳng thức :

$\frac{{{a}^{k}}}{{{a}^{k-1}}+{{b}^{k-1}}}+\frac{{{b}^{k}}}{{{b}^{k-1}}+{{c}^{k-1}}}+\frac{{{c}^{k}}}{{{c}^{k-1}}+{{a}^{k-1}}}\ge \frac{a+b+c}{2}(k\in {{N}^{*}})$

cũng không đúng với mọi k chẳng hạn khi k=10 bạn có thể kiểm tra lại 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguen123: 08-11-2016 - 18:48

[yeutoan2001]

và đây là lời giải của mình.

Ta có :

\[\sum{\frac{{{a}^{4}}}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}}+\sum{\frac{{{b}^{4}}}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}}=\sum{\frac{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}}\ge \sum{\frac{a+b}{2}}=\sum{a}\]

$\Rightarrow \sum{\frac{{{a}^{4}}}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}}\ge \frac{\sum{a}}{2}$  (1)       

hay  $\sum{\frac{{{b}^{4}}}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}}\ge \frac{\sum{a}}{2}$  (2)

Nếu là (1) thì OK  , còn nếu là (2) đổi vai trò a, b ta lại có (1)  .Vậy BĐT xem như chứng minh xong.

Khó hiểu quá anh ơi 

[nhatvinh2018]

Không giảm tổng quát, giả sử $a= \max\left\{a,b,c\right\}$.

 

Nếu $a\geqslant b\geqslant c$ thì ta có:
\begin{align*} &\phantom{\iff~} \dfrac{a^4}{a^3+b^3}+\dfrac{b^4}{b^3+c^3}+\dfrac{c^4}{c^3+a^3}\geqslant \dfrac{a+b+c}{2} \\&\iff a\left(\dfrac{a^3}{a^3+b^3}-\dfrac{1}{2} \right)+b\left(\dfrac{b^3}{b^3+c^3}-\dfrac{1}{2} \right)+c\left(\dfrac{c^3}{c^3+a^3}-\dfrac{1}{2} \right)\geqslant 0 \end{align*}
 
Đặt $m=\dfrac{a^3}{a^3+b^3}-\dfrac{1}{2}$, $n=\dfrac{b^3}{b^3+c^3}-\dfrac{1}{2}$, $p=\dfrac{c^3}{c^3+a^3}-\dfrac{1}{2}$.
Ta có khai triển $Abel$: $am+bn+cp=(a-b)m+(b-c)(m+n)+c(m+n+p)$. Chú ý rằng khi đó, do $a-b\geqslant 0$, $b-c\geqslant 0$ và $c>0$ nên ta sẽ đi chứng minh các bất đẳng thức sau:

• $m\geqslant 0 \iff \dfrac{a^3}{a^3+b^3}-\dfrac{1}{2}\geqslant 0 \iff \dfrac{a^3-b^3}{2\left(a^3+b^3\right)}\geqslant 0$ (luôn đúng)
• $m+n\geqslant 0 \iff \left(\dfrac{a^3}{a^3+b^3}-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{b^3}{b^3+c^3}-\dfrac{1}{2}\right)\geqslant 0 \iff \dfrac{a^3-b^3}{2\left(a^3+b^3\right)}+\dfrac{b^3-c^3}{2\left(b^3+c^3\right)}\geqslant 0$ (luôn đúng)
• $m+n+p\geqslant 0 \iff \left(\dfrac{a^3}{a^3+b^3}-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{b^3}{b^3+c^3}-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{c^3}{c^3+a^3}-\dfrac{1}{2}\right)\geqslant 0$
  $$\iff \dfrac{a^3-b^3}{2\left(a^3+b^3\right)}+\dfrac{b^3-c^3}{2\left(b^3+c^3\right)}+\dfrac{c^3-a^3}{2\left(c^3+a^3\right)}\geqslant 0$$
  Chú ý rằng
  \begin{align*} \dfrac{a^3-b^3}{2\left(a^3+b^3\right)}+\dfrac{b^3-c^3}{2\left(b^3+c^3\right)}+\dfrac{c^3-a^3}{2\left(c^3+a^3\right)} &= \dfrac{a^3-b^3}{2\left(a^3+b^3\right)}+\dfrac{b^3-c^3}{2\left(b^3+c^3\right)}-\dfrac{a^3-b^3}{2\left(c^3+a^3\right)}-\dfrac{b^3-c^3}{2\left(c^3+a^3\right)} \\ &= \left(a^3-b^3\right)\left[\dfrac{1}{2\left(a^3+b^3\right)}-\dfrac{1}{2\left(c^3+a^3\right)}\right] + \left(b^3-c^3\right)\left[\dfrac{1}{2\left(b^3+c^3\right)}-\dfrac{1}{2\left(c^3+a^3\right)}\right]\\ &= \dfrac{\left(a^3-b^3\right)\left(c^3-b^3\right)}{2\left(a^3+b^3\right)\left(c^3+a^3\right)}+ \dfrac{\left(b^3-c^3\right)\left(a^3-b^3\right)}{2\left(b^3+c^3\right)\left(c^3+a^3\right)} \\ &= \dfrac{\left(a^3-b^3\right)\left(b^3-c^3\right)}{2\left(c^3+a^3\right)} \left(\dfrac{1}{b^3+c^3}-\dfrac{1}{a^3+b^3}\right) \\ &=\dfrac{\left(a^3-b^3\right)\left(b^3-c^3\right)\left(a^3-c^3\right)}{2\left(a^3+b^3\right)\left(b^3+c^3\right)\left(a^3+c^3\right)} \geqslant 0\end{align*}
  Vậy $m+n+p\geqslant 0$.

Vậy bất đẳng thức đã cho là đúng và ta có điều phải chứng minh với $a\geqslant b \geqslant c >0$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.

có cách đơn giản dễ hiểu k ạ ? cách này khó hiểu