3 replies to this topic

[Namthemaster1234]

Chứng minh $A=\frac{(m+3)^n+1}{3m}$ là một số nguyên thì $A$ là số lẻ.($m,n$ là một số tự nhiên )

[L Lawliet]

Chứng minh $A=\frac{(m+3)^n+1}{3m}$ là một số nguyên thì $A$ là số lẻ.($m,n$ là một số tự nhiên )

Ta có:

$$3m|(m+3)^n+1 \Rightarrow 3m|m^n+3^n+1 \Rightarrow 3|m^n+1 \Rightarrow m\equiv 2 (mod \ 3)$$

và $n$ lẻ.

$$3^n +1 \vdots m \Rightarrow 3^{n+1} \equiv -3 \ (mod \ m)$$

Dễ thấy $V_2(3^n+1)=2$ do $n$ lẻ nên suy ra $V_2(m) \leq 2$

$$ \Rightarrow m=2^\alpha .p_1^{\alpha _1}.p_2^{\alpha _2}...p_r^{\alpha _r}$$

với $ \alpha \leq 2$ và $p_i \in \mathbb{P}$ với mọi $i=\overline{1,r}$

$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3^{n+1}\equiv -3\ (mod \ p_i)\\ 3^{n+1}\equiv -3\ (mod \ 2)\end{matrix}\right.$$

Vì $n$ lẻ nên suy ra $\left ( \frac{-3}{p_i} \right )=1$

$$\Rightarrow p_i \equiv 1 \ (mod \ 6)$$

$$\Rightarrow m=2^\alpha.(6k+1)$$

Mặt khác vì $m \equiv 2 \ (mod \ 3) \Rightarrow \alpha =1$ do $\alpha \leq 2$

$$\Rightarrow m= 12k+2$$

Ta có:

$$(m+3)^n+1 = (12k+5)^n+1 \equiv  2 \ (mod \ 4)$$

$$\Rightarrow V_2 ((m+3)^n+1)=2$$

Mà $3m \vdots 2$ nên suy ra $A$ lẻ. $\blacksquare$

[halloffame]

 

Chứng minh $A=\frac{(m+3)^n+1}{3m}$ là một số nguyên thì $A$ là số lẻ.($m,n$ là một số tự nhiên )

Ta có:

$$3m|(m+3)^n+1 \Rightarrow 3m|m^n+3^n+1 \Rightarrow 3|m^n+1 \Rightarrow m\equiv 2 (mod \ 3)$$

và $n$ lẻ.

$$3^n +1 \vdots m \Rightarrow 3^{n+1} \equiv -3 \ (mod \ m)$$

Dễ thấy $V_2(3^n+1)=2$ do $n$ lẻ nên suy ra $V_2(m) \leq 2$

$$ \Rightarrow m=2^\alpha .p_1^{\alpha _1}.p_2^{\alpha _2}...p_r^{\alpha _r}$$

với $ \alpha \leq 2$ và $p_i \in \mathbb{P}$ với mọi $i=\overline{1,r}$

$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3^{n+1}\equiv -3\ (mod \ p_i)\\ 3^{n+1}\equiv -3\ (mod \ 2)\end{matrix}\right.$$

Vì $n$ lẻ nên suy ra $\left ( \frac{-3}{p_i} \right )=1$

$$\Rightarrow p_i \equiv 1 \ (mod \ 6)$$

$$\Rightarrow m=2^\alpha.(6k+1)$$

Mặt khác vì $m \equiv 2 \ (mod \ 3) \Rightarrow \alpha =1$ do $\alpha \leq 2$

$$\Rightarrow m= 12k+2$$

Ta có:

$$(m+3)^n+1 = (12k+5)^n+1 \equiv  2 \ (mod \ 4)$$

$$\Rightarrow V_2 ((m+3)^n+1)=2$$

Mà $3m \vdots 2$ nên suy ra $A$ lẻ. $\blacksquare$

 

Trong box THCS mà dùng kí hiệu lũy thừa đúng có ổn không nhỉ 

Edited by halloffame, 20-09-2016 - 21:37.

[Le Ng Lan Phuong]

mọi người giúp em giải bài này với ạ

cho n>2 và n không nguyên tố cùng nhau với 6.

chứng minh n² -1 chia hết cho 24