Chủ đề này có 1 trả lời

[nguyenvuong1122000]

Cmr: $\frac{a}{a^{2}-a+1}+ \frac{b}{b^{2}-b+1}+\frac{c}{c^{2}-c+1}+\frac{d}{d^{2}-d+1}$

với a,b,c,d là các số thực thỏa mãn:a+b+c+d=2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenvuong1122000: 23-09-2016 - 22:02

[KietLW9]

Lời giải. Đặt $\left\{\begin{matrix}a=x+\frac{1}{2} & \\ b=y+\frac{1}{2} & \\ c=z+\frac{1}{2} & \\ d=t+\frac{1}{2} & \end{matrix}\right.$ thì $x+y+z+t=0$ và ta cần chứng minh: $\frac{2(2x+1)}{4x^2+3}+\frac{2(2y+1)}{4y^2+3}+\frac{2(2z+1)}{4z^2+3}+\frac{2(2t+1)}{4t^2+3}\leqslant \frac{8}{3}$

$\Leftrightarrow \frac{(2x-1)^2}{4x^2+3}+\frac{(2y-1)^2}{4y^2+3}+\frac{(2z-1)^2}{4z^2+3}+\frac{(2t-1)^2}{4t^2+3}\geqslant \frac{4}{3}$

Mà ta có: $4x^2+3=3x^2+3+(y+z+t)^2\leqslant 3x^2+3+3(y^2+z^2+t^2)=3(x^2+y^2+z^2+1)$

Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\frac{(2x-1)^2}{4x^2+3}+\frac{(2y-1)^2}{4y^2+3}+\frac{(2z-1)^2}{4z^2+3}+\frac{(2t-1)^2}{4t^2+3}\geqslant \frac{(2x-1)^2+(2y-1)^2+(2z-1)^2+(2t-1)^2}{3(x^2+y^2+z^2+t^2+1)}=\frac{4(x^2+y^2+z^2+t^2+1)}{3(x^2+y^2+z^2+t^2+1)}=\frac{4}{3}(\text{Q.E.D})$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d=\frac{1}{2}$