Chủ đề này có 1 trả lời

[Truong Gia Bao]

Cho $x,y>0$ và $x+y=2xy$. Tìm giá trị nhỏ nhất:  $P=\frac{x+1}{y^2+1}+\frac{y+1}{x^2+1}+(x+2y)(y+2x)$

[hanguyen445]

Đặt \[Q = \frac{{x + 1}}{{{y^2} + 1}} + \frac{{y + 1}}{{{x^2} + 1}};T = \left( {x + 2y} \right)\left( {y + 2x} \right)\]

Từ giả thiết:

\[x + y = 2xy \ge 2\sqrt {xy}  \to \sqrt {xy}  \ge 1 \Leftrightarrow xy \ge 1\]

Suy ra:

\[Q = \frac{{x + 1}}{{{y^2} + 1}} + \frac{{y + 1}}{{{x^2} + 1}} \ge \frac{{x + 1}}{{{y^2} + xy}} + \frac{{y + 1}}{{{x^2} + xy}}\]

\[ = \frac{{x + 1}}{{y\left( {x + y} \right)}} + \frac{{y + 1}}{{x\left( {x + y} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 1} \right) + y\left( {y + 1} \right)}}{{xy\left( {x + y} \right)}}\]

\[ = \frac{{{x^2} + {y^2} + x + y}}{{xy\left( {x + y} \right)}} = \frac{{{x^2} + {y^2} + 2xy}}{{xy\left( {x + y} \right)}}\]

\[ = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{xy\left( {x + y} \right)}} = \frac{{x + y}}{{xy}} = \frac{1}{2}\left( @ \right)\]

\[T = \left( {x + 2y} \right)\left( {y + 2x} \right) = 2{y^2} + 2{x^2} + 5xy \ge 9xy \ge 9\left( {@@} \right)\]

Từ \[\left( @ \right)\left( {@@} \right) \Rightarrow P = T + Q \ge \frac{1}{2} + 9 = \frac{{19}}{2}\]

Vậy \[P = \frac{{19}}{2} \Leftrightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanguyen445: 24-09-2016 - 01:10