Cho x,y,z là các số nguyên và
$\left\{\begin{matrix} P=(x+2014)^{5}+(2y-2015)^{5}+(3z+2016)^{5} & & \\ S=x+2y+3z+2015 & & \end{matrix}\right.$
Chứng minh $P\vdots30$ khi và chỉ khi $S\vdots30$
Edited by kimchitwinkle, 26-09-2016 - 01:34.
Cho x,y,z là các số nguyên và
$\left\{\begin{matrix} P=(x+2014)^{5}+(2y-2015)^{5}+(3z+2016)^{5} & & \\ S=x+2y+3z+2015 & & \end{matrix}\right.$
Chứng minh $P\vdots30$ khi và chỉ khi $S\vdots30$
Edited by kimchitwinkle, 26-09-2016 - 01:34.
Liên hệ facebook
www.facebook.com/khacquocpro
Cho x,y,z là các số nguyên và
$\left\{\begin{matrix} P=(x+2014)^{5}+(2y-2015)^{5}+(3z+2016)^{5} & & \\ S=x+2y+3z+2015 & & \end{matrix}\right.$
Chứng minh $P\vdots30 khi và chỉ khi S\vdots30$
Đặt $a=x+2014;b=2y-2015;c=3z+2016\Rightarrow P=a^{5}+b^{5}+c^{5};S=a+b+c$
Xét $P-S=a^{5}+b^{5}+c^{5}-(a+b+c)$
Xét riêng $a^{5}-a=(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)+5(a-1)a(a+1)$
Ta có $(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)$ là tích 5 số nguyên liên tiếp nên $(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)$ chia hết cho 2;3;5 và $5(a-1)a(a+1)$ cũng chia hết cho 2;3;5 hay chia hết cho 30
$\Rightarrow P-S\vdots 30;S\vdots 30\Rightarrow P\vdots 30$
CM $a^{5}+b^{5}+c^{5}$ chia hết cho 5 ta có thể dùng cách sau
Theo định lý Ferma ta có
$a^{5}\equiv a$(mod 5)
$b^{5}\equiv b$(mod 5)
$c^{5}\equiv c$(mod 5)
mà a + b + c chia hết cho 5 => $a^{5}+b^{5}+c^{5}$ chia hết cho 5
0 members, 1 guests, 0 anonymous users