Chủ đề này có 1 trả lời

[khacquocpro]

Cho tam giác ABC cân ở A . Đường cao AH và BK .

 

CMR $\frac{1}{BK^{2}}=\frac{1}{BC^{2}}+\frac{1}{4AH^{2}}$

 

[Hai2003]

Kẻ $KM\perp BC$ tại $M$, suy ra $KM\parallel AH$

Dễ thấy $S_{BKC}=\frac{BK.KC}{2}=\frac{KM.BC}{2}\implies BK.KC=KM.BC\implies \frac{BK}{BC}=\frac{KM}{KC}$

Theo Thales thì $\frac{KM}{AH}=\frac{KC}{AC}\implies \frac{KM}{KC}=\frac{AH}{AC}\implies \frac{BK}{BC}=\frac{AH}{AC}\quad \color{red}{(1)}$

Suy ra $\frac{BK}{2AH}=\frac{BC}{2AC}\quad \color{blue}{(2)}$

 

Do $\bigtriangleup ABC$ cân tại $A$ có $AH$ là đường cao từ $A$ nên $H$ là trung điểm $BC\implies HC=\frac{BC}{2}$

Dùng Py-ta-go trong $\bigtriangleup AHC$ vuông tại $H$ thì $AH^2+HC^2=AC^2\implies 4AH^2+4\left(\frac{BC}{2}\right)^2=4AC^2\implies 4AH^2+BC^2=4AC^2$

Chia cả 2 vế cho $4AC^2$ thì $\left(\frac{AH}{AC}\right)^2+\left(\frac{BC}{2AC}\right)^2=1\quad \color{green}{(3)}$

 

$\color{red}{(1)}, \color{blue}{(2)}, \color{green}{(3)}\implies \left(\frac{BK}{BC}\right)^2+\left(\frac{BK}{2AH}\right)^2=1\implies \frac{1}{BC^2}+\frac{1}{4AH^2}=\frac{1}{BK^2}$