Cho $p_1,p_2,...$ là dãy tăng các số nguyên tố liên tiếp ($n \ge 4$ ). Chứng minh rằng :
$p_1.p_2...p_n>p_{n+1}^2$ (Đề chọn đội tuyển hsg quốc gia Thừa Thiên Huế ngày 1 hôm nay )
Mạnh hơn : $p_1.p_2...p_n>p_{n+1}.p_{n+2}$
$p_1.p_2..p_{n}>p_{n+1}^2$
#1
Đã gửi 28-09-2016 - 12:37
#2
Đã gửi 28-09-2016 - 12:51
Lời giải : $n=4$ kiểm tra lại đúng
Định lí Betrand : Tồn tại ít nhất $p$ là số nguyên tố sao cho $n \le p \le 2n$ trong đó $n$ là số nguyên dương
Giả sử đúng với $n=k$ tức là $p_1p_2...p_k>p_{k+1}^2$
Ta chứng minh nó cũng đúng với $n=k+1$ tức là cần chứng minh $p_1p_2...p_k.p_{k+1}>p_{k+2}^2$
Ta đã có $p_1p_2...p_k>p_{k+1}^2$ ,theo bổ đề Betrand $p_{k+1} \le p_{k+2} \le 2p_{k+1}$
Ta có $p_1p_2...p_k.p_{k+1}>p_{k+1}^2.p_{k+2}/2>\frac{p_{k+2}^3}{8}>p_{k+2}^2$ (điều này hiển nhiên đúng rồi nhỉ)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 28-09-2016 - 12:54
- hoangvunamtan123 yêu thích
#3
Đã gửi 28-09-2016 - 18:09
Lời giải : $n=4$ kiểm tra lại đúng
Định lí Betrand : Tồn tại ít nhất $p$ là số nguyên tố sao cho $n \le p \le 2n$ trong đó $n$ là số nguyên dương
Giả sử đúng với $n=k$ tức là $p_1p_2...p_k>p_{k+1}^2$
Ta chứng minh nó cũng đúng với $n=k+1$ tức là cần chứng minh $p_1p_2...p_k.p_{k+1}>p_{k+2}^2$
Ta đã có $p_1p_2...p_k>p_{k+1}^2$ ,theo bổ đề Betrand $p_{k+1} \le p_{k+2} \le 2p_{k+1}$
Ta có $p_1p_2...p_k.p_{k+1}>p_{k+1}^2.p_{k+2}/2>\frac{p_{k+2}^3}{8}>p_{k+2}^2$ (điều này hiển nhiên đúng rồi nhỉ)
good ,đều trực tiếp suy ra $\prod_{1}^{p(k+1)}> p(k+1)^{3}> \frac{p(k+2)}{8}^{3}$ luôn ,cảm ơn chú ve bài viết .T chưa biết đinh lý này
#4
Đã gửi 28-09-2016 - 20:01
Cho $p_1,p_2,...$ là dãy tăng các số nguyên tố liên tiếp ($n \ge 4$ ). Chứng minh rằng :
$p_1.p_2...p_n>p_{n+1}^2$ (Đề chọn đội tuyển hsg quốc gia Thừa Thiên Huế ngày 1 hôm nay )
Mạnh hơn : $p_1.p_2...p_n>p_{n+1}.p_{n+2}$
Đây là bất đẳng thức Bonse
https://toanhocsocap...thuc-bonse.html
- hoangvunamtan123 yêu thích
#5
Đã gửi 28-09-2016 - 21:29
good ,đều trực tiếp suy ra $\prod_{1}^{p(k+1)}> p(k+1)^{3}> \frac{p(k+2)}{8}^{3}$ luôn ,cảm ơn chú ve bài viết .T chưa biết đinh lý này
Trong sách của VPQ có nơi mà do m chưa đọc kĩ thôi
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh