1 reply to this topic

[dunghoiten]

Cho các số thực $x>\dfrac{1}{3}; y>\dfrac{1}{2}; z>1$ thỏa mãn: $\dfrac{3}{3x+2}+\dfrac{2}{2y+1}+\dfrac{1}{z} \geq 2$

 

Tìm giá trị lớn nhất của: $A=(3x-1)(2x-1)(z-1)$

[leminhnghiatt]

Cho các số thực $x>\dfrac{1}{3}; y>\dfrac{1}{2}; z>1$ thỏa mãn: $\dfrac{3}{3x+2}+\dfrac{2}{2y+1}+\dfrac{1}{z} \geq 2$

 

Tìm giá trị lớn nhất của: $A=(3x-1)(2x-1)(z-1)$

 

$\dfrac{3}{3x+2}+\dfrac{2}{2y+1}+\dfrac{1}{z} \geq 2$

 

$\iff \dfrac{1}{(x-\dfrac{1}{3})+1}+\dfrac{1}{(y-\dfrac{1}{2})+1}+\dfrac{1}{(z-1)+1} \geq 2$

 

$(x-\dfrac{1}{3};y-\dfrac{1}{2};z-1)=(a,b,c)$

 

Ta có: $\sum \dfrac{1}{a+1} \geq 2$

 

$\rightarrow \dfrac{1}{a+1} \geq (1-\dfrac{1}{b+1})+(1-\dfrac{1}{c+1})=\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1} \geq 2\sqrt{\dfrac{bc}{(b+c)(c+a)}}$

 

Thiết lập các bất thức tương tự rồi nhân với nhau ta được:

 

$1 \geq 8abc$

 

$\rightarrow abc \leq \dfrac{1}{8}$

 

$\rightarrow (3x-1)(2y-1)(z-1) \leq \dfrac{3}{4}$

 

Dấu "=" $\iff x-\dfrac{1}{3}=y-\dfrac{1}{2}=z-1=\dfrac{1}{2}$

Edited by leminhnghiatt, 29-09-2016 - 19:58.