Chủ đề này có 4 trả lời

[doanminhhien127]

1, Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh:

a, $M=\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}\geq 1$.

b, $N=\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}\frac{c}{a+2b}\geq 1$.

2, Với $x,y,z$ là những số thỏa mãn $\left | x+2y+3z \right |=\sqrt{14}$. Chứng minh: $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 1$.

3, Với $x,y,z$ là những số thực thỏa mãn $x^{2}+2y^{2}+3z^{2}=1$. Chứng minh $\left | x+y+z \right |\leq \sqrt{\frac{11}{6}}$.

4, Với $ha,hb,hc$ là độ dài các đường cao của 1 tam giác. R là bán kính đường tròn nội tiếp. Chứng minh: $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{ha}}+\frac{2}{\sqrt{hb}}+\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{hc}}\leq \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{r}}$

 Các bạn chứng minh chi tiết hộ mình ( càng sớm càng tốt) theo bất đẳng thức bunhiacopxki nhé. Cảm ơn nhiều.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doanminhhien127: 29-09-2016 - 21:36

[Namvip]

1)Ta có 

$\sum \frac{a}{a+2b}=\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2ab}\geq \frac{(a+b+c)^{2})}{(a+b+c)^{2}}=1$

[basketball123]

1, Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh:

a, $M=\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}\geq 1$.

b, $N=\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}\frac{c}{a+2b}\geq 1$.

2, Với $x,y,z$ là những số thỏa mãn $\left | x+2y+3z \right |=\sqrt{14}$. Chứng minh: $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 1$.

3, Với $x,y,z$ là những số thực thỏa mãn $x^{2}+2y^{2}+3z^{2}=1$. Chứng minh $\left | x+y+z \right |\leq \sqrt{\frac{11}{6}}$.

4, Với $ha,hb,hc$ là độ dài các đường cao của 1 tam giác. R là bán kính đường tròn nội tiếp. Chứng minh: $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{ha}}+\frac{2}{\sqrt{hb}}+\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{hc}}\leq \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{r}}$

 Các bạn chứng minh chi tiết hộ mình ( càng nhanh càng tốt) theo bất đẳng thức bunhiacopxki nhé. Cảm ơn nhiều.

2) $(1+4+9)(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq (x+2y+3z)^{2}=14\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 1$

3) $\frac{11}{6}=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})(x^{2}+2y^{2}+3z^{2})\geq (x+y+z)^{2}\Rightarrow \mid x+y+z\mid \leq \sqrt{\frac{11}{6}}$

[loolo]

1b) Bổ đề: $3(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^{2}$

$\sum \frac{a}{b+2c}=\frac{a^{2}}{ab+2ac}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3(ab+bc+ac)}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}}=1$

[hanguyen445]

1, Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh:

a, $M=\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}\geq 1$.

b, $N=\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}\frac{c}{a+2b}\geq 1$.

2, Với $x,y,z$ là những số thỏa mãn $\left | x+2y+3z \right |=\sqrt{14}$. Chứng minh: $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 1$.

3, Với $x,y,z$ là những số thực thỏa mãn $x^{2}+2y^{2}+3z^{2}=1$. Chứng minh $\left | x+y+z \right |\leq \sqrt{\frac{11}{6}}$.

4, Với $ha,hb,hc$ là độ dài các đường cao của 1 tam giác. R là bán kính đường tròn nội tiếp. Chứng minh: $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{ha}}+\frac{2}{\sqrt{hb}}+\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{hc}}\leq \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{r}}$

 Các bạn chứng minh chi tiết hộ mình ( càng sớm càng tốt) theo bất đẳng thức bunhiacopxki nhé. Cảm ơn nhiều.

\[\frac{1}{{{h_a}}} + \frac{1}{{{h_b}}} + \frac{1}{{{h_c}}} = \frac{{a + b + c}}{{2S}} = \frac{{a + b + c}}{2}.\frac{1}{S} = \frac{P}{S} = \frac{1}{r}\]

\[P = \sqrt 3 .\sqrt {\frac{1}{{{h_a}}}}  + \sqrt 4 .\frac{1}{{\sqrt {{h_b}} }} + \sqrt 5 .\sqrt {\frac{1}{{{h_c}}}} \]

\[ \leqslant \sqrt {12\left( {\frac{1}{{{h_a}}} + \frac{1}{{{h_b}}} + \frac{1}{{{h_c}}}} \right)}  = \sqrt {\frac{{12}}{r}} \]