$k=1$ thì $max F(n)=1$. Ta xét $k>1$.
Chọn $n=k!$.
Ta có $\binom{n}{k}=\prod_{i=1}^{k-1}(n-i)$. Vậy $m\in A,\forall m\in \mathbb{N},n-k+1\leq m\leq n-1$. Vậy $max F(n)\geq k-1$
Gọi $p$ là ước nguyên tố của $k$. Ta đặt $a=max v_p(n-i)$, chọn $m$ thoả mãn. Ta đặt $n-m=xp^a$
Ta có $v_p(\binom{n}{k})=\sum_{i=1}^{\infty }(\left \lfloor \frac{n}{p^i} \right \rfloor-\left \lfloor \frac{n-k}{p^i} \right \rfloor-\left \lfloor \frac{k}{p^i} \right \rfloor)$.
-$p^a>p$:
Với $i>a$, ta có $\left \lfloor \frac{n}{p^i} \right \rfloor\geq \left \lfloor \frac{n-k}{p^i} \right \rfloor\geq \left \lfloor \frac{x-1}{p^{i-a}} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{x}{p^{i-a}} \right \rfloor,\left \lfloor \frac{n}{p^i} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{xp^a+m}{p^i} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{x}{p^{i-a}} \right \rfloor$( $x$ không chia hết cho $p$). Từ đó các số hạng với $i=1,i>a$ bằng $0$, các số hạng còn lại không lớn hơn $1$ suy ra $v_p(\binom{n}{k})< a-1= v_p(n-m)$ hay có ít nhất một số $n-i$ nào đó không thuộc $A$. Vậy $F(n)\leq k-1$.
Từ trên ta có $max F(n)=k-1$.
-$p^a\leq k$:
Tương tự ta có $max F(n)=k-1$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 01-10-2016 - 10:05