Chủ đề này có 1 trả lời

[Baoriven]

Cho $a_1=3;a_2=17;a_3=99$ và $a_{n+1}=\frac{a_n^2+a_{n-1}^2-1}{a_{n-2}},n\geq 3$.

Chứng minh rằng: $a_{2016}+1$ là số chính phương.

[superpower]

Cho $a_1=3;a_2=17;a_3=99$ và $a_{n+1}=\frac{a_n^2+a_{n-1}^2-1}{a_{n-2}},n\geq 3$.

Chứng minh rằng: $a_{2016}+1$ là số chính phương.

Bài này ta làm như sau

Ta có $a_{n+1} . a_{n-2} = a_n^2 + a_{n-1}^2 -1 $ 

          $a_n . a_{n-3} = a_{n-1}^2 + a_{n-2}^2 -1 $

Trừ ngược lên theo vế, ta đc

$a_{n+1}.a_{n-2} - a_n.a_{n-3} = a_n^2 - a_{n-2}^2 $ 

$a_{n-2} (a_{n+1} + a_{n-2} )  = a_n(a_n +a_{n-3} ) $

Làm sai phân liên tục thì ta được

$\frac{a_{n+1} +a_{n-2} }{a_3+a_0} = \frac{a_n.a_{n-1} }{a_1.a_2} $ 

Ta tính đc $a_0=3 $

thay vô ta sẽ tính được

$a_{n+1} + a_{n-2} = 2a_n.a_{n-1} $ 

Cộng 2 vế cho $a_n^2+a_{n-1}^2 $

Ta sẽ có được $a_{n+1} + a_{n-2} + a_n^2+a_{n-1}^2 = k ^2 $

Thay vào lại pt đầu, ta sẽ có được

$(a_{n+1}+1)(a_{n-2} +1) = k^2 $ 

Mặt khác ta có $a_0+1 $ chính phương

$a_3+1$ chính phương

Do đó $a_{3k}+1$ chính phương

Do đó ta có đpcm