Cho số nguyên dương $n$ thỏa mãn $2+2\sqrt{12n^2+1}$ là số nguyên. Chứng minh $2+2\sqrt{12n^2+1}$ là số chính phương.
Chứng minh $2+2\sqrt{12n^2+1}$ là số chính phương.
#1
Đã gửi 09-10-2016 - 15:46
#2
Đã gửi 09-10-2016 - 16:33
Để T là số nguyên thì 12n2 +1 phải là số chính phương lẻ
Đặt 12n2 +1 = (2k -1)2 (k thuộc N)
<=> 12n2 +1 = 4k2 - 4k +1
<=> 12n2 = 4k2 - 4k
<=> 3n2 = k(k-1)
=> k(k - 1) chia hết cho 3 => k chia hết cho 3 hoặc k-1 chia hết cho 3
+) Nếu k $\vdots$ 3 => n2 =(k/3).(k-1) Mà (k/3 ; k-1 )= 1 nên đặt k/3 = x2 => k = 3x2
và đặt k-1 = y2 => k = y2 +1
=> 3x2 = y2 +1 đồng dư với 2 ( mod 3)
Vô lý vì 1 số chính phương chia cho 3 chỉ dư 0 hoặc 1
+) Nếu k-1 $\vdots$ 3:
=> n2 = k.(k-1)/3 Mà ( k; (k-1)/3) =1 nên đặt k = z2 và (k-1)/3 = t2
=> T=........= 2+ 2(2k -1) = 4k = 4z2 =(2z)2 là 1 số chính phương
=> đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BuiHoa: 09-10-2016 - 16:41
- Haton Val, Fabffriver và HenryTung thích
#3
Đã gửi 09-10-2016 - 17:18
Để T là số nguyên thì 12n2 +1 phải là số chính phương lẻ
Đặt 12n2 +1 = (2k -1)2 (k thuộc N)<=> 12n2 +1 = 4k2 - 4k +1
<=> 12n2 = 4k2 - 4k
<=> 3n2 = k(k-1)
=> k(k - 1) chia hết cho 3 => k chia hết cho 3 hoặc k-1 chia hết cho 3
+) Nếu k $\vdots$ 3 => n2 =(k/3).(k-1) Mà (k/3 ; k-1 )= 1 nên đặt k/3 = x2 => k = 3x2
và đặt k-1 = y2 => k = y2 +1
=> 3x2 = y2 +1 đồng dư với 2 ( mod 3)
Vô lý vì 1 số chính phương chia cho 3 chỉ dư 0 hoặc 1
+) Nếu k-1 $\vdots$ 3:
=> n2 = k.(k-1)/3 Mà ( k; (k-1)/3) =1 nên đặt k = z2 và (k-1)/3 = t2
=> T=........= 2+ 2(2k -1) = 4k = 4z2 =(2z)2 là 1 số chính phương
=> đpcm
tại sao lại đồng dư 2 (mod 3) nhỉ . phải là đồng dư 0 chứ !?!
#4
Đã gửi 09-10-2016 - 19:17
Cho số nguyên dương $n$ thỏa mãn $2+2\sqrt{12n^2+1}$ là số nguyên. Chứng minh $2+2\sqrt{12n^2+1}$ là số chính phương.
$2+2\sqrt{12n^2+1}$ là số nguyên khi và chỉ khi 12n2 +1 phải là số chính phương lẻ .
Đặt $\sqrt{2n^{2}+1}=m\in Z+$
$\Rightarrow 12n^{2}=m^{2}-1\vdots 4$
$\Rightarrow m=2k+1\in Z$
$\Rightarrow 12n^{2}=4k\left ( k+1 \right )$
$\Rightarrow 3n^{2}=k\left ( k+1 \right )\vdots 3$
$\Rightarrow k\vdots 3$ hoặc $k+1\vdots 3$
Xét k=3q$\in Z$ $\Rightarrow n^{2}=q\left ( 3q+1 \right )$
mặt khác (3q+1;q)=1
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} q &=a^{2} \\ 3q+1& =b^{2} \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow 3q^{2}+1=b^{2}$
Ta có $2+2\sqrt{12n^2+1}$=2+2m=$4b^{2}$
tương tự vs k+1 chia hết cho 3
$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$
#5
Đã gửi 09-10-2016 - 20:11
tại sao lại đồng dư 2 (mod 3) nhỉ . phải là đồng dư 0 chứ !?!
3x2 = y2 +1 => y2 = 3x2 -1 $\equiv$ -1 (mod 3) <=> y2 $\equiv$ 2 (mod 3)
#6
Đã gửi 22-11-2016 - 22:19
Đề thi chuyên Toán Hà Nội 2015-2016
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh