Câu 2:
Cách 1: Do $abc=1$ nên tồn tại $x, y, z >0$ sao cho $a=\sqrt{\frac{y}{x}}, b=\sqrt{\frac{z}{y}}, c=\sqrt{\frac{x}{z}}$. Khi đó:
$P= \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^2}}$ $=$ $\sqrt{\frac{x}{x+y}}+\sqrt{\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}} \leq \sqrt{[x(y+z)+y(z+x)+z(x+y)][\frac{1}{(x+y)(y+z)}+\frac{1}{(y+z)(x+z)}+\frac{1}{(z+x)(x+y)}]}$ $=$ $\sqrt{\frac{4(x+y+z)(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(z+x)}} \leq \frac{3}{\sqrt{2}}$. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$. BĐT cuối cùng đúng là do $(x+y)(y+z)(z+x) \geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$.
Cách 2: sử dụng AM-GM ta có:
$\sum_{cyc}\sqrt{\frac{2x}{x+y}} \leq \sum_{cyc}[\frac{3x(y+z)}{4(xy+yz+zx)} + \frac{2(xy+yz+zx)}{3(x+y)(y+z)}] = \frac{17}{6}+\frac{4xyz}{3(x+y)(y+z)(z+x)} \leq 3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngockhanh99k48: 15-10-2016 - 15:11