Cho $x,y,z\geq 0$ thỏa mãn $x+y+z=1$. Chứng minh:
$xy+yz+zx-2xyz\leq \frac{7}{27}$
$xy+yz+zx-2xyz\leq \frac{7}{27}$
Bắt đầu bởi phuocchubeo, 21-10-2016 - 22:07
#1
Đã gửi 21-10-2016 - 22:07
phuocchubeo
-
- Thành viên
-
- 62 Bài viết
Hạ sĩ
Tập tõm bước đi trên con đường toán học. 
#2
Đã gửi 21-10-2016 - 22:17
Baoriven
-
- Điều hành viên OLYMPIC
-
- 1425 Bài viết
Thượng úy
Theo $Dirichlet$ tồn tại một số không lớn hơn $\frac{1}{3}$.
Giả sử: $z\leq \frac{1}{3}$.
Ta có: $S=xy(1-2z)+z(x+y)=xy(1-2z)+z(1-z)\leq (\frac{1-z}{2})^2(1-2z)+z(1-z)=\frac{1}{4}(-2z^3+z^2+1)$.
$\frac{1}{4}(-2z^3+z^2+1)\leq \frac{7}{27}\Leftrightarrow z\geq -\frac{1}{6}$. (Đúng).
Vậy ta có đpcm.
- CaptainCuong, tienduc, phuocchubeo và 3 người khác yêu thích
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
