Chủ đề này có 2 trả lời

[forestercbg]

Tính thể tích của khối đa diện mười hai mặt đều cạnh $a$?

[vkhoa]

Tính thể tích của khối đa diện mười hai mặt đều cạnh $a$?

Trước tiên hãy xem cách tính độ dài đường chéo và bán kính đường tròn ngoại tiếp của ngũ giác đều tại đây thể tích của khối hai mươi mặt đều cạnh a=1 là bao nhiêu

mỗi mặt của khối đa diện 12 mặt đều là một ngũ giác đều

mỗi đỉnh của khối này là đỉnh chung của 3 mặt ngũ giác đều kề nhau

xét 3 mặt kề nhau ABEFC, ACGHD, ADIJB

gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABEFC

gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối 12 mặt đều

OA cắt mặt phẳng (BCD) tại H, có H là tâm của tam giác đều BCD

gọi M là trung điểm AB

có BC là đường chéo của ngũ giác đều cạnh a

$\Rightarrow BC =\frac{1 +\sqrt{5}}2 .a$

$\Rightarrow HB =\frac{1 +\sqrt{5}}{2\sqrt{3}} .a$

$\Rightarrow AH^2 =AB^2 -BH^2 =\frac{6 -2\sqrt{5}}{12}a^2 =\frac{(\sqrt{5} -1)^2}{12}a^2$

$\Rightarrow AH =\frac{\sqrt{5} -1}{2\sqrt{3}}a$

có $\triangle AHB\sim\triangle AMO$ (g, g)

$\Rightarrow \frac{AH}{AB} =\frac{AM}{AO}$

$\Rightarrow OA =\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{5} -1}$

có $IB =\sqrt{\frac2{5 -\sqrt{5}}}a =\sqrt{\frac{5 +\sqrt{5}}{10}}a$

$IM^2 =IB^2 -BM^2$

$\Rightarrow IM =\sqrt{\frac{5 +2\sqrt{5}}{20}}a$

$\Rightarrow S_{ABEFC} =\frac{a^2}4\sqrt{25+10\sqrt{5}}$

$IO^2 =OB^2 -BI^2$

$\Rightarrow OI =\sqrt{\frac{25 +11\sqrt{5}}{40}}a$

$\Rightarrow$ thể tích khối 12 mặt đều $=\frac{a^3}2\sqrt{\frac12(235 +105\sqrt{5})}$ (đpcm)

[tututhoi]

Xin phép tác giả thu gọn lại cái kết quả cho học sinh nhìn có cảm tình và dễ nhớ:

$V=\frac{{{a}^{3}}}{2}\sqrt{\frac{1}{2}(235+105\sqrt{5})}=\frac{{{a}^{3}}}{2}\frac{\sqrt{235.2+2.105\sqrt{5}}}{2}=\frac{{{a}^{3}}}{4}\sqrt{{{\left( 15+7\sqrt{5} \right)}^{2}}}=\frac{{{a}^{3}}\left( 15+7\sqrt{5} \right)}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tututhoi: 13-11-2016 - 14:08