Chủ đề này có 9 trả lời

[Nagisa shiota]

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 (vòng 1)

Năm học 2016 - 2017

Môn: Toán

Thời gian: 150 phút

 

Bài 1 (4 điểm) :

     a) Cho $a=\sqrt{6}\left ( \sqrt{\frac{2}{3}} -\sqrt{\frac{3}{2}}\right )$.Chứng minh $a\in Z$.

     b) Tìm $n\in N$ thỏa mãn $n^{4} +4$ là số nguyên tố.

Bài 2 (4 điểm):

     a) Cho $3a>2b>0$ và $9a^2 +4b^2 = 13ab$.Tính giá trị của biểu thức $P=\frac{ab}{9a^{2}-4b^{2}}$.

     b) Giải phương trình sau: $\left | x-2 \right |(x-1)(x+1)(x+2)=4$.

Bài 3 (4 điểm):

     a) Cho biểu thức $M=\frac{x^{3}+2x^{2}-x-2}{x^{3}-2x^{2}-3x}\left [ \frac{(x+2)^{2}-x^{2}}{4x^{2}-4} -\frac{3}{x^{2}-x}\right ]$

    Tìm x để biểu thức xác định, khi đó hãy rút gọn biểu thức M.

     b) Tìm GTNN của biểu thức $P=(x-3)^{2}+(x+1)^{2}$.

Bài 4 (6 điểm):

     1) Cho tam giác ABC (AB<AC).Tia phân giác của góc A cắt BC ở K.Qua trung điểm M của BC kẻ 1 tia song song với KA cắt đường thẳng AB ở D, cắt AC ở E.Chứng minh BD=CE.

     2) Cho tam giác ABC nhọn. AD, BE, CF là các đường cao. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh:

         a) $\frac{HA}{AD}+\frac{HB}{BE}+\frac{HC}{CF}=2$

         b) $cos^{2}A +cos^{2}B + cos^{2}C <1$

Bài 5 (2 điểm): Tứ giác lồi ABCD có AC=8, BD=6.Chứng minh rằng: 

     a) Tồn tại 1 cạnh của tứ giác nhỏ hơn 7.

     b) Tồn tại 1 cạnh của tứ giác lớn hơn hoặc bằng 5.

[Kagome]

Bài 4 (6 điểm):

     1) Cho tam giác ABC (AB<AC).Tia phân giác của góc A cắt BC ở K.Qua trung điểm M của BC kẻ 1 tia song song với KA cắt đường thẳng AB ở D, cắt AC ở E.Chứng minh BD=CE.

Kẻ $AF\parallel BC$...

[Kagome]

 

Bài 4 (6 điểm):

2) Cho tam giác ABC nhọn. AD, BE, CF là các đường cao. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh:

 a) $\frac{HA}{AD}+\frac{HB}{BE}+\frac{HC}{CF}=2$

 b) $cos^{2}A +cos^{2}B + cos^{2}C <1$

a)$\frac{HA}{AD}+\frac{HB}{BE}+\frac{HC}{CF}=\frac{S_{ABC}-S_{HBC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{ABC}-S_{AHC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{ABC}-S_{AHB}}{S_{ABC}}=2$

[Kagome]

Bài 4:

2)CM bổ đề $cos^2A+cos^2B+cos^2C=1-2cosA.cosB.cosC$:

Hệ pt $\left\{\begin{matrix} a & = & cosB.c & + & cosC.b\\ b & = & cosA.c & + & cosC.a\\ c & = & cosA.b & + & cosB.a \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} a & = & (cosA.b+cosB.a)cosB & + & cosC.b\\ b & = & (cosA.b+cosB.a)cosA & + & cosC.a \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} a & = & cosA.cosB.b & + & cos^2B.a & + & cosC.b\\ b & = & cosA.cosB.a & + & cos^2A.b & + & cosC.a & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} a(1-cos^2B) & = & b(cosA.cosB+cosC)\\ b(1-cos^2A) & = & a(cosA.cosB+cosC) \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (cosA.cosB+cosC)^2=(1-cos^2B)(1-cos^2A)$

$\Rightarrow  cos^2A+cos^2B+cos^2C=1-2cosA.cosB.cosC$

Bài toán: 

Vì các góc $A,B,C$ là các góc nhọn nên $cosA,cosB,cosC>0\Rightarrow 2cosA.cosB.cosC>0\Rightarrow đpcm$

[phan duy linh]

Bài 4 (6 điểm):

     1) Cho tam giác ABC (AB<AC).Tia phân giác của góc A cắt BC ở K.Qua trung điểm M của BC kẻ 1 tia song song với KA cắt đường thẳng AB ở D, cắt AC ở E.Chứng minh BD=CE.

Ta có: AK//DM=>BD/BA=BM/BK =>BD/BM=BA/BK (1)   

 

           EM//AK=>CE/CA=CM/CK =>CE/CM=CA/CK  (2)

                     

 Lấy (1) chia (2),ta được: BD.CM/CE.BM=BA.CK/BK.CA (3)

Tam giác ABC, AK là phân giác => BK/CK=BA/CA => BA.CK = BK.CA(4)

  M là trung điểm của BC =>CM=BM(5)

 Từ (3),(4) và (5)=>BD/CE =1 =>BD=CE (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phan duy linh: 30-10-2016 - 12:39

[Zeref]

 

Bài 1 (4 điểm) :

     a) Cho $a=\sqrt{6}\left ( \sqrt{\frac{2}{3}} -\sqrt{\frac{3}{2}}\right )$.Chứng minh $a\in Z$.

     b) Tìm $n\in N$ thỏa mãn $n^{4} +4$ là số nguyên tố.

a) $a=-1$ (dễ tính ha )

b) $n^4+4=(n^2-2n+2)(n^2+2n+2)$ rồi biện luận tiếp

[Zeref]

 

Bài 2 (4 điểm):

     a) Cho $3a>2b>0$ và $9a^2 +4b^2 = 13ab$.Tính giá trị của biểu thức $P=\frac{ab}{9a^{2}-4b^{2}}$.

     b) Giải phương trình sau: $\left | x-2 \right |(x-1)(x+1)(x+2)=4$.

a) Với điều kiện $a,b$ đều dương thì ta thấy phương trình đẳng cấp $9a^2+4b^2-13ab=0$

Từ đó suy ra $b=a$ (loại) hoặc $b=\frac{9}{4}a$

Nhưng lại khá mâu thuẫn với đề bài vì lúc đó $2b=4,5a>3a$ ?

Chả biết mình có sai chỗ nào không

b) Lần lượt xét các điều kiện $x \geq 2$ và $x < 2$ rồi giải tiếp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zeref: 23-12-2016 - 11:13

[Zeref]

 

Bài 3 (4 điểm):

     a) Cho biểu thức $M=\frac{x^{3}+2x^{2}-x-2}{x^{3}-2x^{2}-3x}\left [ \frac{(x+2)^{2}-x^{2}}{4x^{2}-4} -\frac{3}{x^{2}-x}\right ]$

    Tìm x để biểu thức xác định, khi đó hãy rút gọn biểu thức M.

     b) Tìm GTNN của biểu thức $P=(x-3)^{2}+(x+1)^{2}$.

a) $M=\frac{x+2}{x^2}$

b) $P=2x^2-4x+10$

Theo công thức GTNN của tam thức bậc 2 thì GTNN của P là 8

[TRAN PHAN THAI ANH]

Bài 5

AC và BD là hai đường chéo tứ giác lồi (không tính trường hợp đặt biệt)

Áp dụng BDT tam giác

AB+BC≥AC=8

nên tồn tại AB hoặc BC nhỏ hơn hoặc bằng 4

VẬY tồn tại cạnh nhỏ hơn 7

[TRAN PHAN THAI ANH]

$\geq$