Chủ đề này có 1 trả lời

[comander1234]

Cho $n$ điểm phân biệt trên mặt phẳng sao cho hai điểm đôi một có khoảng cách $\geq 1$. Chứng minh rằng có không quá $3n-6$ cặp điểm có khoảng cách $=1$.

[JUV]

Quy nạp theo $n$: Giả sử bài toán đúng với $n=k$, xét $k+1$ điểm thoả mãn đề bài. Từ $1$ điểm $A$ nằm trên bao lồi $k+1$ điểm đó, vẽ đường tròn bán kính $1$. Giả sử có ít nhất $4$ điểm trên đường tròn đó thì $4$ điểm đó sẽ nằm cùng về $1$ nửa đường tròn đó. Từ đây áp dụng thêm Dirichlet thì sẽ suy ra có $2$ điểm có khoảng cách <1. Vậy có nhiều nhất $3$ điểm nằm trên đường tròn đó. Xoá $A$ và xét $k$ điểm còn lại, có nhiều nhất $3k-6$ cặp điểm thảo mãn. Vậy có tổng cộng nhiều nhất $3(k+1)-6$ cặp điểm thoả mãn $\Rightarrow Q.E.D$