Chủ đề này có 2 trả lời

[LTTK]

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. Chứng minh
$$\frac{a}{(ab+a+1)^2}+\frac{b}{(bc+b+1)^2}+ \frac{c}{(ca+c+1)^2} \geq \frac{1}{a+b+c}$$

[phanthanhtruyen]

ta có : $ab+a+1=a(bc+b+1)\doteq ab(ca+c+1)$

nên BĐT trờ thành : $\frac{a+a^{2}b + a^{2}b^{2}c}{(ab+a+1)^{2}} \geq \frac{1}{a+b+c} \Leftrightarrow \frac{ac+a+1}{(ab+a+1)^{2}} \geq \frac{c}{a+b+c}$ 

đặt $a=\frac{x}{y} , b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$

quy đồng ta được : $(x+y+z)(x^{2}y + y^{2}z + z^{2}x) \geq (xy+yz+zx)^{2}$ : đúng 

[Mr Cooper]

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. Chứng minh
$$\frac{a}{(ab+a+1)^2}+\frac{b}{(bc+b+1)^2}+ \frac{c}{(ca+c+1)^2} \geq \frac{1}{a+b+c}$$

Ta thấy rằng:

 

\[\frac{a}{{{{\left( {ab + a + 1} \right)}^2}}} + \frac{b}{{{{\left( {bc + c + 1} \right)}^2}}} + \frac{c}{{{{\left( {ca + c + 1} \right)}^2}}} = \frac{{a{c^2}}}{{{{\left( {ca + c + 1} \right)}^2}}} + \frac{{{a^2}b{c^2}}}{{{{\left( {ca + c + 1} \right)}^2}}} + \frac{c}{{{{\left( {ca + c + 1} \right)}^2}}} = \frac{{a{c^2} + {a^2}b{c^2} + c}}{{{{\left( {ca + c + 1} \right)}^2}}} = \frac{{a{c^2} + ac + c}}{{{{\left( {ca + c + 1} \right)}^2}}}\]

 

Sử dụng BĐT C-S ta có:

 

\[\left( {a{c^2} + ac + c} \right)\left( {a + b + c} \right) \ge {\left( {ca + c + 1} \right)^2} \Rightarrow \frac{{a{c^2} + ac + c}}{{{{\left( {ca + c + 1} \right)}^2}}} \ge \frac{1}{{a + b + c}} \Rightarrow \frac{a}{{{{\left( {ab + a + 1} \right)}^2}}} + \frac{b}{{{{\left( {bc + c + 1} \right)}^2}}} + \frac{c}{{{{\left( {ca + c + 1} \right)}^2}}} \ge \frac{1}{{a + b + c}}\]

 

Dấu bằng xảy ra khi: a=b=c=1

 

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Cooper: 07-11-2016 - 20:47