Cho x, y, z >0; x+y+z=1
CMR: $\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}+\frac{yz}{y^{2}+z^{2}}+\frac{zx}{z^{2}+x^{2}}+\frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq \frac{15}{4}$
CMR: $\sum (\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} +\frac{1}{4x})\geq \frac{15}{4}$
Bắt đầu bởi misakichan, 02-11-2016 - 12:28
#2
Đã gửi 02-11-2016 - 21:39
hanguyen445
-
- Thành viên
-
- 241 Bài viết
Thượng sĩ
\[P = \sum {\frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2}}}} + \frac{1}{4}\sum {\frac{1}{x}} = \sum {\frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2}}}} + \frac{1}{4}\sum {\frac{{x + y + z}}{x}} \]
\[ = \sum {\frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2}}}} + \frac{1}{4}\sum {\left( {1 + \frac{y}{x} + \frac{z}{x}} \right)} \]
\[ = \sum {\frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2}}}} + \frac{1}{4}\sum {\left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} \right) + \frac{3}{4}} \]
\[ = \sum {\left( {\frac{1}{{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}} + \frac{1}{4}\left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} \right)} \right) + \frac{3}{4}} \]
\[ \geqslant \sum {2\sqrt {\frac{1}{{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}}.\frac{1}{4}\left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} \right)} } \]
\[ = \frac{3}{4} + \sum 1 = \frac{3}{4} + 3 = \frac{{15}}{4}\]
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanguyen445: 02-11-2016 - 21:41
- loolo, NTA1907 và yeutoan2001 thích
#3
Đã gửi 27-04-2021 - 20:18
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
$VT-VP=\frac{(a-b)^4}{4ab(a^2+b^2)}+\frac{(b-c)^4}{4bc(b^2+c^2)}+\frac{(c-a)^4}{4ca(c^2+a^2)}\geqslant 0$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
