Chủ đề này có 2 trả lời

[datdo]

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\sqrt{\frac{2a}{ a+b}} + \sqrt{\frac{2b}{ b+c}} + \sqrt{\frac{2c}{ c+a}} \leq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi datdo: 06-11-2016 - 08:59

[NTMFlashNo1]

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\sqrt{\frac{2a}{ a+b}} + \sqrt{\frac{2b}{ b+c}} + \sqrt{\frac{2c}{ c+a}} \leq 3$

$\sqrt{\frac{a}{ a+b}} + \sqrt{\frac{b}{ b+c}} + \sqrt{\frac{c}{ c+a}}$

Đặt $x= \frac{b}{a};y= \frac{c}{b};z=\frac{a}{c}$ (1)

      $\Rightarrow$ $\sqrt{\frac{a}{ a+b}} + \sqrt{\frac{b}{ b+c}} + \sqrt{\frac{c}{ c+a}}$ $= \sum \sqrt{\frac{1}{1+x}}$

Ko mất tính tổng quát G/s :$x\leq y\leq z$ 

Tư (1) có xyz=1 $\Rightarrow \left ( xyz \right )^{3}=1\Rightarrow xy.yz.zx=1\Rightarrow xy\leq 1;z\geq 1$

Ta có :$= \sum \sqrt{\frac{1}{1+x}}$ $\leq \sqrt{2\left ( \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y} \right )}+\sqrt{\frac{1}{1+z}}\leq \sqrt{2\frac{2}{1+\sqrt{xy}}}+\sqrt{\frac{1}{1+z}}\leq \frac{2\sqrt[4]{z}}{\sqrt{1+\sqrt{z}}}+\sqrt{\frac{1}{1+z}}\leq \frac{2\sqrt[4]{z}}{\sqrt{1+\sqrt{z}}}+\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{1+\sqrt{z}}}$

Cần C/m:$\frac{2\sqrt[4]{z}}{\sqrt{1+\sqrt{z}}}+\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{1+\sqrt{z}}}$$\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

Biến đổi tương đương ra đpcm

[phanthanhtruyen]

cần c/m $\left ( \sum \sqrt{\frac{2a}{a+b}} \right )^{2} \leq 2(a+b+c)\left ( \sum \frac{2a}{(a+b)(c+a)} \right )\leq 9$$\Leftrightarrow 8(a+b+c)(ab+bc+ca)\leq 9(a+b)(b+c)(c+a)$ 

đúng . 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanthanhtruyen: 07-11-2016 - 14:49