Chủ đề này có 2 trả lời

[datdo]

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\sqrt{\frac{2a}{ a+b}} + \sqrt{\frac{2b}{ b+c}} + \sqrt{\frac{2c}{ c+a}} \leq 3$

[lenadal]

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\sqrt{\frac{2a}{ a+b}} + \sqrt{\frac{2b}{ b+c}} + \sqrt{\frac{2c}{ c+a}} \leq 3$

 :$\sum \sqrt{\frac{2a}{a+b}}\leq \sqrt{(\sum a+c)(\sum \frac{2a}{(a+b)(a+c)})} = \sqrt{\frac{8(a+b+c)(ab+bc+ca)}{\prod (a+b)}}$

áp dụng bđt phụ : $\prod (a+b)\geq \frac{8}{9}(\sum a)(\sum ab)$ 
(CM bất đẳng thức phụ $\left ( a+b+c \right )(ab+bc+ca))=abc+(a+b)(b+c)(c+a)\leq \frac{1}{8}(a+b)(b+c)(c+a)+\prod (a+b)=9/8\prod (a+b)$

[Mr Cooper]

Áp dụng bất đẳng thức C-S ta có:
\[{\left( {\sum {\sqrt {\frac{{2x}}{{x + y}}} } } \right)^2} \le \left[ {\sum {\left( {x + z} \right)} } \right]\left[ {\sum {\frac{{2x}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}} } \right] = \frac{{8\left( {x + y + z} \right)\left( {xy + yz + zx} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}}\]
Vậy ta cần chứng minh:
\[8\left( {x + y + z} \right)\left( {xy + yz + zx} \right) \le 9\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)\]
Đây là 1 dạng hệ quả quen thuộc
Từ đây bất đẳng thức được chứng minh
Dấu bằng xảy ra khi: x=y=z